De HSG huyen Toan 9 (07-08) (co DA)

Hướng dẫn chấm toán 9

Câu 1. (4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
Tìm x, y N * sao cho:
xy - 3x + y = 20;
<=> xy - 3x + y -3 = 17<=> x(y – 3) + (y -3) = 17
<=> (y – 3)(x + 1) = 17 <=>
<=> (loại) ; Hoặc
Vậy cặp số x, y thỏa mãn đ/k của bài toán là: (16, 4)
b)
Vì vai trò của x và y như nhau nên giả sử x y. Ta có: 5(x + y) = 3(x2 + y2) <=> x(5 – 3x) = y(3y - 5).
Vì x, y cùng dấu nên 5 – 3x và 3y – 5 cùng dấu.
+ Nếu 5 – 3x > 0 thì 3y – 5 > 0 => x < và y > => y > x vô lý.
+ Nếu 5 – 3x < 0 thì 3y – 5 < 0 => x > và y < => y =1, x = 2;
Vậy cặp số (x,y) thoả mãn đ/k bài toán là (1, 2); (2, 1)
Câu 2. (4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6abc.
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:

Vậy Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi => a = b = c =
Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức:
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:
=> 6 2Vậy
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: a = b = c =
Câu 3. (4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
a) Tìm phần dư R(x) khi chia đa thức P(x) = x2007 + x207 + x27 + x7 + x + 1 cho đa thức Q(x) = x3 - x
R(x) có dạng: ax2 + bx + c ; P(x) = Q(x) . M(x) + R(x)
= x(x – 1)(x + 1) . M(x) + ax2 + bx + c.
P(0) = 1 = c; P(1) = 6 = a + b + c; P(-1) = - 4 = a – b + c => a = 0; b = 5. Vậy R(x) = 5x + 1

Tìm đa thức f(x) = 2x2 + ax + b biết thì
Thay x = 0; x = 1; x = -1 vào đa thức f(x) = 2x2 + ax + b ta có:

Cộng vế theo vế (2) và(3) ta được kết hợp với (1) => b =
Thay b = vào (2) => -2 a 0; Thay b = vào (3) => 0 a 2 => a = 0.
=> f(x) = 2x2 1. Ta có:
Vậy đa thức phải tìm là f(x) = 2x2 1

Câu 4. (3 điểm)
Giải phương trình:
<=> mà
x. Từ đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm khi hai vế nhận giá trị bằng nhau và bằng 5 hay => x = - 2. Vậy nghiệm của phương trình là x = - 2

Câu 5. (5 điểm, mỗi câu 2,5 điểm)
Cho tam giác cân ABC H là trung điểm của BC. Kẻ HD vuông góc với AC (D AC). Đường thẳng AI vuông góc với BD (I BD) cắt HD tại O. Chứng minh:
Sin2= 2 sincos
O là trung điểm của HD
Lời giải
H là trung điểm của BC nên