Đề HSG Bắc Ninh 2017

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO



(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)



Câu 1. (3,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức

2) Cho các số thực
thỏa mãn


Tính giá trị biểu thức

Câu 2. (4,0 điểm)
1) Trong hệ trục tọa độ
tìm trên đường thẳng
những điểm
sao cho
.
2) Cho
là các số thực thỏa mãn
. Chứng minh rằng phương trình
luôn có nghiệm.
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Cho các số thực dương
Chứng minh rằng

.
2) Tìm các số nguyên tố
và số nguyên dương
thỏa mãn phương trình

Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đoạn thẳng
có trung điểm là
Trên cùng nửa mặt phẳng bờ
dựng nửa đường tròn tâm
đường kính
và nửa đường tròn tâm
đường kính
Điểm
thay đổi trên nửa đường tròn
(
khác
và
), tia
cắt đường tròn
tại
Gọi
là giao điểm thứ hai của
với đường tròn
.
1) Chứng minh rằng tam giác
cân.
2) Tiếp tuyến tại
của đường tròn
cắt tia
tại
chứng minh
là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
và
.
3) Đường thẳng
cắt
tại
, đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt đường tròn
tại điểm thứ hai là
Chứng minh rằng ba điểm
thẳng hàng.
4) Tính độ dài đoạn
theo
biết
song song với

Câu 5. (3,0 điểm)
1) Cho hình vuông
và điểm
nằm trong tam giác
sao cho
. Tính góc

2) Cho các đa thức
thỏa mãn
có ba nghiệm thực phân biệt và
vô nghiệm.
Chứng minh rằng

-------------HẾT-------------