ĐỀ HỌC SINH GIỎI HUYỆN TOÁN 9

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I
NĂM HỌC: 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1.
Phân tích
thành nhân tử:

Tính
khi biết

Câu 2. Cho hàm số:
; với
tham số.
Xác định
để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O.
b. Tính theo
tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy. H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của
để

Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Câu 3.
Giải phương trình:

Cho
là hai số dương thỏa mãn:
.
Chứng minh:

Giải phương trình nghiệm nguyên:

Câu 4.
Cho đường tròn (O;
). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
Tính

Chứng minh:

Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Hết./.



PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề)
Câu
Ý
Nội dung cần đạt
Điểm

1
a


0,5
0,5
2,0


b



Vậy:

0,5
0,5


2
a

; với
tham số
Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) thì


0,25
2,0


b
Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A

Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B

Ta có:
AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên:
Hay


0,5


0,5



c
Hoành độ trung điểm I của AB:

Tung độ trung điểm I của AB:

Ta có:

Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường thẳng


0,5


0,25


3
a
Điều kiện:



Vậy nghiệm của pt là:

0,2

0,2
0,3

0,3
2,5


b
Với
là hai số dương ta có:
(Theo Bunhiacopski)

(Vì
) Hay



0,25

0,25




c







0,25

0,5


0,25






0,25
3,5

4
a
Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:

=
= 1 + 1 = 2

0,75



b
Chứng minh:

Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)


0,5

0,5



c
P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH)
Mà OH.MH
(Pitago)
Vậy
. đẳng thức xẩy ra
MH = OH

OH =

0,25
0,25


0,25

0,25