Đề, HD chấm ôn thi HSG toan 9

Kỳ thi chọn HS giỏi cấp HUYEN
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút

Đề bài:
Câu 1: Giải hệ phương trình:

Câu 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + 3x + 1)2 - 1
Câu 3: Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 - 7x + 3 = 0
Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 - x2 và 2x2 - x1
Tính giá trị của biểu thức: A =
Câu 4: Cho x, y, z và x + y + z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của M = x2 + y2 + z2
Câu 5: Tìm các số nguyên dương a để giá trị của biểu thức là một số chính phương chẵn.
Câu 6: Cho tam giác cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O, R) có AB = AC = R
a. Tính độ dài BC theo R.
b. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D. Chứng tỏ tích AM.AD không đổi.
c. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD, đường thẳng AI cắt đường tròn (I) tại E và F. Chứng tỏ AE.AF = AC2.
d. Chứng minh tam giác ACI là tam giác vuông.

……….. Hết ……….


















Hướng dẫn chấm

Môn thi: Toán
Câu
ý
Nội dung
Điểm

Câu1
3đ


 Xét hệ phương trình
Lấy (2) trừ (1), (3) trừ (2) vế với vế ta được hệ tương đương:

Vậy hệ đã cho có nghiệm: ( x = 6; y = -11; z = 6)




2.5

0.5

Câu 2
2đ

(x2 + 3x + 1)2 - 1 = (x2 + 3x + 1 - 1)(x2 + 3x + 1 + 1)
= (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = x(x + 3)(x2 + x + 2x + 2)
= x(x + 3)[x(x + 1) + 2(x + 1)]
= x(x + 3)(x + 1)(x + 2)
0.5
0.5
0.5
0.5

Câu 3
5đ
a
3đ
Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 7; x1.x2 = 3
Đặt y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 ta có y1 + y2 = x1 + x2 = 7;
y1.y2 = (2x1 – x2)( 2x2 - x1) = 5x1.x2 -2(x12 +x22)
= 5x1x2 -2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] = 9x1x2 - 2(x1 + x2)2 = 9.3 - 2.72 = -71
Phương trình cần lập là y2 - 7y -71 = 0
0.5
1

1
0.5


b
2đ
Phương trình y2 - 7y -71 = 0 có hai nghiệm là y1 =
y2 =
Ta có A = =
=
= = 3

0.5

0.5

0.5
0.5

Câu 4
2đ

Do x nên (1)
Tương tự ta cũng có (2)
và (3)
Cộng vế với vế của (1) , (2) và (3) ta được x + y + z x2 + y2 + z2 hay x2 + y2 z2 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trong (1), (2), (3) dấu bằng đồng thời xảy ra
Xét các trường hợp để được: x =