đề gửi dự thi hsg toán 9 -lần 2

trường thcs nguyễn trãi

Đề khảo sát học sinh giỏi toán 9 Năm học 2008-2009
(Thời gian làm bài 150 phút)
GV: Nguyễn đình vui



Câu1(2đ)
a/Chứng minh rằng nếu b là số nguyên tố khác 3 thì số
A= 3n+2 +1993b2 là hợp số với mọi n thuộc số tự nhiên
b/Cho các số a = 11...11(2n chữ số 1)
b = 44...4 (n chữ số b)
Chứng minh rằng a+b+1 là số chính phương.

Câu2(1đ).
Tìm x và y sao cho biểu thức
A= 2x2 + 9y2-6xy -6x -12y + 2022 có giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị đó
Câu3(2đ)
Tìm tất cả các cặp số nguyên p,q sao cho đẳng thức sau đúng



Câu4(2.5đ).
Trong hình chữ nhật kích thước 1 x 2 ta lấy 6n2 +1 điểm với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại 1 hình tròn có bán kính chứa không ít hơn 4 trong số các điểm đã cho.

Câu5(2.5đ).
Cho tứ giác lồi ABCD có
AD=DC,CD=a,AB=b. Gọi I,N,J,M lần lượt là trung điểm của AB,AC,CD,BD: S là diện tích tứ giác INJM.
Chứng minh rằng S.Dấu bằng xảy ra khi nào











Đáp án + Thang điểm

Câu
Nội dung
Điểm

1a




b là số nguyên tố khác 3 nên b2- 1 chia hết cho 3

Ta có A= 3n+2 +1993b2 = 3(n+1 + 664b2)+ b2 -13

Do A>3 vậy A là hợp số với mọi nN

0,25

0,5

0,25


1b
Ta có a= 11 ... 1(2n số 1)

Ta có b= 44 ... 4(n số4)


Vậy a+b+1

Do 10n+23 nên