Đề+Gợi ý Toán vào 10 chuyên ĐHPS Hà Nội 12-13

Câu1:


P=



Vì a-b=1 => a=1+b => P=
=
= 2b+
+2
2
+2
GTNN P = 2
+2 ( 2b =
( b=
và a=
+1


Câu 2:
Gọi x; y (km/h) lần lượt là vận tốc của xe máy và ô tô (x; y >0)

Quãng đường otô và xe máy đi là 9y/4 +4x = 210 (1)

Thời gian otô và xe máy đi đến điểm gặp nhau là 210/y -9/4 = 210/x -4 (2)

Giải hệ ta được x1 =210 => y1 = - 280 ( loại)
X2 =30 => y2 = 40 ( thỏa mãn)







Câu 3 :

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm pt –x2 = mx-m-2
( x2 +mx –m-2=0 (1)
Có
= m2 +4(m+2) =(m+2)2 + 4 > 0 với mọi m
pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Vậy khi m thay đổi (d) và (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

áp dụng vi-ét cho pt (1) ta có x1+x2=-m ; x1x2= -m-2
mà
=
( (x1-x2)2=20 ( (x1+x2)2 -4x1x2=20
( m2 +4(m+2) =20 ( m2 +4m -12 =0 ( m1=2 ; m2=-6
Vạy với m1=2 ; m2=-6 thì
=
.


Câu 4:
Cho tam giác ABC và đường tròn (w) tâm O tiếp xúc với AB,AC tại K,L. Tiếp tuyến (d) của (w) tại E thuộc cung nhỏ KL cắt AL,AK tại M,N đường thẳng KL cắt MO tại P cắt ON tại Q. CMR:
gốc MON= 900 – 1/2sđgóc BAC
MQ,NP,EO đồng quy
PL.KQ=ME.NE




















Câu 5
Cho x,y là những số thực dương và x+y=(x-y)

Tìm GTNN của x+y

Giải
Cách 1
x+y=(x-y)

(x+y)2= (x-y)2xy
(x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2

(x+y)2=
=> xy-1>0

(x+y)2=
=
4(xy-1)+
+8
16

(x+y)2
16
(x+y)
4 (vì x+y>0)
=> GTNN (x+y) = 4
4(xy-1)=

xy=2 mà x+y =4 => x=2+
; y=2-


Cách 2
x+y=(x-y)

(x+y)2= (x-y)2xy
(x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2

(x+y)2=
sử dụng phương pháp miền giá trị với phương
trình 4(xy)2 -xy(x+y)2 +(x+y)2 =0 ẩn (xy) ta được (x+y)2

0


(x+y)2
16 (vì x,y là các số thực dương)


(x+y)2
16
(x+y)
4 (vì x+y>0)
=> GTNN (x+y) = 4
xy=2 mà x+y =4 => x=2+
; y=2-