Đề, đáp án Toán HSG 9 tỉnh Nghế An 15-16

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN



KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)


Câu 1. (3 điểm).
a. Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ...; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó).
b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 171 = y2.
Câu 2. (6 điểm).
a. Giải phương trình:

b. Giải hệ phương trình:

Câu 3. (3 điểm).
Cho
thỏa mãn
. Chứng minh rằng:

Câu 4. (6 điểm).
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là giao điểm của OM và AB.
a. Chứng minh:

b. Tìm điểm E thuộc cung lớn AB sao cho tổng
có giá trị nhỏ nhất.
Câu 5. (2 điểm).
Tìm hình vuông có kích thước nhỏ nhất để trong hình vuông đó có thể sắp xếp được 5 hình tròn có bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn bất kì nào trong chúng có điểm trong chung.
---------- HẾT ----------
Họ và tên: ................................................................................................................................
Số báo danh: ..................................................


SỞ GD&ĐT NGHỆ AN



KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang

Câu
Nội dung
Điểm

Câu 1. (3 điểm).
a. Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ...; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau. (không được chia nhỏ các vật đó).
b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 171 = y2.

1
(3,0)
a
1,5
Nhận xét:
n2 + (n+5)2 = 2n2 + 10n + 25 = X + 25
(n+1)2 + (n+4)2 = 2n2 + 10n + 17 = X + 17
(n+2)2 + (n+3)2 = 2n2 + 10n + 13 = X + 13
0,5



Lần thứ nhất, chia 6 vật có khối lượng 19992, ..., 20042 thành ba phần: A+25, A+17, A+13
Lần thứ hai, chia 6 vật có khối lượng 20052, ..., 20102 thành ba phần: B+25, B+17, B+13
Lần thứ ba, chia 6 vật có khối lượng 20112, ..., 20162 thành ba phần: C+25, C+17, C+13
0,5



Lúc này ta chia thành các nhóm như sau: Nhóm thứ nhất A+25, B+17, C+13; nhóm thứ hai B+25, C+17, A+13; nhóm thứ ba C+25, A+17, B+13. Khối lượng của mỗi nhóm đều bằng A + B + C + 55 gam.
0,5


b
1,5
Viết phương trình đã cho về dạng: 9.(3x – 2 +19) = y2 (x
2). Để y là số nguyên thì điều kiện cần và đủ là 3x – 2 + 19 = z2 là số chính phương (z là số nguyên dương)
0,25



Nếu x – 2 = 2k + 1 là số lẻ thì 32k + 1 + 19 = (32k + 1 + 1) + 18 = 4.B + 18 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không thể là số chính phương.
Do đó x – 2 = 2k là số chẵn
0,5



Ta có 3x – 2 + 19 = z2
. Vì 19 là số nguyên tố và
nên


0,5



Vậy x = 6 và y = 30.
0,25

Câu 2. (6 điểm).
a. Giải phương trình:

b. Giải hệ phương trình:






2
(6,0)





















2
(6,0)




a
3,0