De dap an thi tinh phu tho 2011-2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Lớp 9 THCS năm học 2011-2012
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đềt thi có 01 trang
-----------------------------------------


Câu 1 (3,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n để hai số n + 26 và n – 11 đề là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.

Câu 2 (4,0 điểm)
Giả sử a là một nghiệm của phương trình
x2 + x – 1 = 0. không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
A=

Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
= x2 + 3x – 1
b) Giải hệ phương trình:


Câu 4 (7,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A và B là các tiếp điểm). Gọi D là điểm di động trên cung lớn AB (D không trùng A, B và điểm chính giữa của cung) và C là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O;R).
a)Giả sử H là giao điểm của các đường thẳng OM với AB. Chứng minh rằng MH.MO = MC.MD, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD luôn đi qua một điểm cố định.
b)Chứng minh rằng nếu AD song song với đường thẳng MB thì đường thẳng AC đi qua trọng tâm G của tam giác MAB.
c)Kẻ đường kính BK của đường tròn (O;R), gọi I là giao điểm của các đường thẳng MK và AB. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, khi biết OM = 2R.

Câu 5 (2,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn: abc + a + b = 3ab. Chứng minh rằng:


------------------------------Hết---------------------------------
Họ tên thí sinh: ....................................................................SBD:..........................
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Câu 5 (2,0 điểm) Đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm hoc 2011-2012

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn: abc + a + b = 3ab. Chứng minh rằng:



Hướng dẫn giải:
Từ gt ta suy ra

Khi đó ta có:

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhia cho 3 cặp số:
VT


Đặt mẫu số là A
Theo Bunhia ta có:

vì

Áp dụng BĐT Cô Si cho hai số không âm ta được:


Khi đó ta phải chứng minh:


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Suy ra đpcm

Người hướng dẫn: Vũ Đình Sơn GV THCS Đoan Hùng – Phú Thọ