đề đáp án thi hsg toán 9 huyện Yên Lạc

UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS NĂM HỌC 2011-2012
MÔN : TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)





Câu 1: (2 điểm)
a, Cho
.
Biết xyz=4, tính

b, Tính chính xác B=


Câu 2: ( 2 điểm)
a, Giải phương trình

b, Vẽ đồ thị và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số


Câu 3: (1,5 điểm)
a, Giải hệ phương trình :

b, Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn
là số nguyên tố.
chia hết cho 8. Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn
chia hết cho P. Chứng minh rằng cả hai số x,y đều chia hết cho P.

Câu 4: ( 3 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn . Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Vẽ các tiếp tuyến MB,MC với đường tròn (O;R), trong đó B,C là các tiếp điểm. Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a, Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.
b, Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.
c, Cho biết OA=2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích của tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 5(1,5 điểm)
a, Năm vận động viên mang số 1;2;3;4 và 5 được chia bằng mọi cách thành hai nhóm. Chứng tỏ rằng ở một trong hai nhóm ta luôn có hai vận động viên mà hiệu các số họ mang trùng với một trong các số mà người của nhóm đó mang.
b, Cho
. Chứng minh rằng
.

...........................................Hết.......................................



Họ và tên:........................................................... SBD:................





UBND HUYỆN YÊN LẠC
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS NĂM HỌC 2011-2012
MÔN : TOÁN





Câu
Nội dung
Điểm

1,a
1 đ
ĐKXĐ x,y,z
0. Kết hợp xyz=4

0,25


Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với
, thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ ba bởi
ta được.


0,25



0,25


Suy ra
( vì A>0).
0,25

1,b
1đ
Vẽ tam giác cân ABC tại A,
,BC=1
. Vẽ đường phân giác CD, ta có tam giác ADC cân tại D, BCD cân tại C, AD=DC=CB=1.
0,25


Kẻ
. Đặt AH=HC=x
;
AB=AC=2x;BD=2x-1
0,25


Xét tam giác ABC , CD là phân giác

0,25



( Vì x>0).
Vậy



0,25

2,a
1đ
ĐKXĐ của phương trình là:

0,25


Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:


0,25


Mà

0,25


Dấu = xảy ra
ĐKXĐ
Vậy nghiệm của phương trình là x=-1
0,25

2,b
1đ
Tính được

0,25


Vẽ đúng được đồ thị:





0,5


Quan sát trên đồ thị ta thấy
. Vậy GTNN của y=3

0,25

3,a
0,75đ
ĐKXĐ của hệ phương trình

Đặt
=a





0,25








0,25


Nếu xyz=1 thì x=y=z=1
Nếu xyz=-1 thì x=y=z=-1
Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y;z) là: (1;1;1),(-1;-1;-1).
0,25

3,b
0,75đ
Đặt P=8k+5 ( k là số tự nhiên)
Ta có





0,25


Mà
và b-Nếu trong hai số x,y có một số chia hất cho P. thì