DE DAP AN THI CHUYEN TOAN HA NOI 20162017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 09 tháng 6 năm 2016 Thời gian làm bài: 150 phút (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)
Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình
. 2) Giải hệ phương trình
. Bài II (2,0 điểm) 1) Cho các số thực
đôi một khác nhau thỏa mãn
và
. Tính

.
2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên
thỏa mãn Bài III (2,0 điểm) 1) Cho các số thực dương
thỏa mãn
. Chứng minh
2) Cho số nguyên dương
thỏa mãn
là số nguyên. Chứng minh
là số chính phương.
Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn
có
và nội tiếp đường tròn Các đường cao
cắt nhau tại điểm Gọi
là trung điểm Tia
cắt đường tròn
tại điểm 1) Chứng minh hai tam giác
và
đồng dạng. 2) Các đường phân giác của các góc
lần lượt cắttại các điểm
và Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của
và a) Chứng minh tứ giác
nội tiếp. b) Chứng minh các tiếp tuyến tại
và
của đường tròn
cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn Bài V (1,0 điểm) Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn. Chứng minh tồn tại hai số được viết cạnh nhau trên đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau.
-------------Hết------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: ................................................... Số báo danh:....................................... Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 2:



ĐÁP ÁN
Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình
.
Điều kiện:
. Ta có:




- Giải (1) ta có:
(thỏa mãn) - Giải (2): Đặt
(vì
)

(thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho có nghiệm
. 2) Giải hệ phương trình
.
Ta có:

.
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:
.
Thử lại ta thấy
thỏa mãn hệ phương trình. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
.
Bài II (2,0 điểm) 1) Cho các số thực
đôi một khác nhau thỏa mãn
và
. Tính

.
Ta có:
Ta luôn có:
. Tuy nhiên vì
đôi một khác nhau nên không xảy ra đẳng thức.
Do đó
. Từ đó:
.
Vậy P = 0.


2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên
thỏa mãn
Ta có:
(mod 3)
(mod 3). Mà
(mod 3)
.
- Nếu
lẻ, đặt

(mod 3) (sai), suy ra
lẻ loại.
- Nếu
chẵn, đặt

(mod 3) (đúng).
Do đó khi
chẵn thì:
.
Vì
nên
.
Vậy ta có các trường hợp:
+
(loại).
+
.
Vậy:
.
Bài III (2,0 điểm) 1) Cho các số thực dương