Đề+Đáp án môn toán HSG tinh TB 2010-2011

Sở Giáo dục và Đào tạo
Thái Bình
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2010-2011


Hướng dẫn chấm và biểu điểm môn toán
(Gồm 5 trang)

Bài 1. (3 điểm) Chứng minh rằng:


Giải :
Nội dung
Điểm

+) Ta có:

0.5

+) Từ đó:
0.5



0.5

+) Ta có:


0.5

+) Từ đó:
0.5



0.5


Bài 2. (3điểm) Tìm phần dư của phép chia đa thức
cho
biết
chia cho
thì dư 1,
chia cho
thì dư
.
Giải:
Nội dung
Điểm

+) Ta có:



0.5

+) Suy ra
chia cho
có phần dư là

0.5

+) Kết hợp với giả thiết suy ra b = 1; c = 1; d – a = 1
0.5

+) Vì p(x) chia cho x – 1 dư 1 nên p(1) = 1
0.5

+) Suy ra a + b + c + d = 1
a = - 1; d = 0
0.5

+) Vậy phần dư cần tìm là: - x3 + x2 + x
0.5

Bài 3. (3 điểm) Giải phương trình:


Giải:
Nội dung
Điểm

+) Đặt

0.5

+) Vậy ta có hệ phương trình:

0.5

+) Trừ vế với vế của phương trình (1) và (2):


0.5

+) Khi x = y ta có:




0.5

+) Khi


Xét


0.5


, phương trình vô nghiệm
0.5

+) Vậy x = 7 là nghiệm duy nhất của phương trình


Bài 4. (3 điểm) Cho a, b, c là 3 số thực dương. Chứng minh rằng :


Giải:
Nội dung
Điểm

+) Áp dụng BĐT Bunhia ta có:


0.5

+) Đặt:

0.5

+) Suy ra

0.5

+) Khi đó



0.5

+) Mà

0.5

+) Suy ra



+) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
0.5


Bài 5. (3 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB = c, BC = a, CA = b. Các góc thỏa mãn
Chứng minh rằng: c2 < 2a2 + b2
Giải:

Nội dung
Điểm

+) Vì

0.5

+) Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho AC = AD
0.5

+) Ta có:

Mà
suy ra

0.5

+) Hai tam giác BCD và BAC đồng dạng
Ta có

0.5






0.5

+) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
(vô lý)
Vậy

0.5

Bài 6. (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là điểm bất kì thuộc cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B và C). Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.
a. Chứng minh
thẳng hàng.
b. Chứng minh

Giải:



Câu
Nội dung
Điểm

a.
+) Tứ giác MA’B’C nội tiếp đường tròn
(1)
0.5


+) Tứ giác MC’BA’ nội tiếp đường tròn
(2)
0.5


+) Tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn
(3)
0.5


+) Từ (1), (2), (3) suy ra
do đó A’, B’, C’ thẳng hàng


b.
+) Gọi D là điểm đối xứng của C qua O.

vì
;

Suy ra

0.5


+) Tương tự

0.5


+) Vậy



Luôn đúng theo định lý potoleme.
0.5


Bài 7. (2điểm) Cho hình bình hành ABCD và n = 4k + 1 (k nguyên dương) đường