DE + dAP AN HSG9

Phòng GD&ĐT Tam Đảo
Trường THCS Tam Đảo
Đề thi chọn học sinh giỏi
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)


Câu 1 (1 điểm):
Chứng minh rằng có duy nhất bộ số nguyên tố thoả mãn xy + 1 = z
Câu 2 (2 điểm):
a) Cho x > y > 0. Rút gọn biểu thức:
b) Tính tổng
Câu 3 (1,5 điểm):
Giải phương trình
Câu 4 (1,5 điểm):
Cho P(x) là đa thức bậc 3 có các hệ số là số nguyên và P(0), P(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng P(x) không thể có nghiệm nguyên.
Câu 5 (1 điểm):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x10 - 10x10 +2008
Câu 6 (1 điểm):
Cho a, b, c dương và
Chứng minh rằng P = abc ( 1
Câu 7 (1 điểm):
Cho (ABC có (A = 1200, BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 + bc
Câu 8 (1 điểm):
Cho (ABC vuông có cạnh huyền BC = 2a. Gọi HA là đường cao, D và E là hình chiếu của H trên AC và AB. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ADHE.

-----------------------------------------------------------


Chú ý: Người coi thi không giải thích gì thêm.





Phòng GD&ĐT Tam Đảo
Trường THCS Tam Đảo
Hướng dẫn chấm thi chọn học sinh giỏi
Môn: Toán 9


Câu
Nội dung
Điểm

1(1đ)
- Từ xy + 1 = z và z là số nguyên tố ( z là số lẻ ( xy chẵn ( x chẵn mà x nguyên tố ( x = 2.
- Khi đó 2y + 1 = z . Xét 2 khả năng:
+ Nếu y chẵn mà y nguyên tố ( y = 2 ( z = 5
+ Nếu y lẻ y = 2k +1 ( 22k+1 + 1 = 2.4k + 1 ( 0 mod 3 ( z không là sô nguyên tố ( loại
- Vậy có (x, y, z) = (2, 2, 5) là duy nhất.
0,25


0,5



0,25

2a(1đ)
- Tử số:

- Do đó Q = 1


0,5

0,5

2b(1đ)
- Ta có
- Do đó
0,5



0,5

3(1,5đ)
- ĐKXĐ: 0 ( x ( 1
- Bình phương 2 vế:
Đặt , a ( 0 ta có phương trình 1 + a = (1 - a2)(1+ 4a + 4a2). Vì a ( 0 nên 1 = (1- a )(1+ 4a + 4a2) ( 4a3 -3a = 0
( a= 0 hoặc
- Với a= 0 thì x = ( 1 mà 0 ( x ( 1 nên x = 1 là nghiệm
- Với thì mà 0 ( x ( 1 nên là nghiệm
Vậy x= 1; là nghiệm
0,25

0,25



0,5

0,25


0,25

4(1,5đ)
- Giả sử P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d ( Z
- Nếu x chẵn, mà P(0) = d lẻ thì P(x) = ax3 + bx2 + cx + d là số lẻ nên P(x) ( 0 mọi x ( Z
- Nếu x lẻ , ta có P(x)- P(1)= a(x3 -1)+ b(x2 -1)+ c(x-1) là số chẵn mà P(1) lẻ ( P(x) chẵn ( P(x) ( 0 mọi x ( Z
Vậy P(x) kh