Đề + Đáp án HSG Toán học 9 (2012-2013)

UBND HUYỆN THANH SƠN
PHÒNG GD&ĐT



( Đề thi có 01 trang )
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9-THCS
THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: Toán
(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề )


Câu 1 (4,5 điểm).
a) Rút gọn biểu thức: A =
;
b) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là một số nguyên và có diện tích bằng chu vi.
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Giải phương trình:
+
= 3;
b) Cho 3 số x, y, z thỏa mãn đồng thời:
3x - 2y - 2
+1 =0
3y - 2z - 2
+ 1 = 0
3z - 2x - 2
- 2 = 0;
Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4)
+ ( y + 2012)
+ ( z - 2013)
.
Câu 3 (3,0 điểm).
Giải hệ phương trình:


Câu 4 (6,5 điểm).
Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O. Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By (Tia Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.
a) Gọi giao điểm của AF và BE là K. Chứng minh MK vuông góc với AB;
b) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF. Chứng minh rằng:
<
<
;
c) Vẽ tam giác vuông cân MBD đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua D và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5( 2,0 điểm).
Cho x, y >1. Chứng minh rằng:
.
------------------Hết--------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh........................................................số báo danh....................

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9 - THCS
THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán
Câu 1 (4,5 điểm):
a) Rút gọn biểu thức: A =
;
b) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là một số nguyên và có diện tích bằng chu vi.
Nội dung
Điểm

a) A =
=


0,50

 =

0,50

=


0,50

=
= 1
0,50

b) Gọi x, y, z là các cạnh của tam giác vuông:
. Ta có:

(1)
xy = 2( x + y + z). (2)



0,50

Từ (1) ta có:

0,50





( do x+ y
2)

0,50

Thay z = x + y - 4 vào (2) ta được:
( x- 4) ( y - 4) = 8, suy ra:

0,50

x - 4 =1 và y - 4 =8
x = 5 và y = 12
z = 13
x - 4 =2 và y - 4 =4
x = 6 và y = 8
z = 10.
Vậy các tam giác vuông phải tìm có các cạnh là:
5, 12, 13 và 6, 8, 10.



0,50

Câu 2 (4,0 điểm):
a) Giải phương trình:
+
= 3;
b) Cho 3 số x, y,z thỏa mãn đồng thời:
3x - 2y - 2
+1 =0
3y - 2z - 2
+ 1 = 0
3z - 2x - 2
- 2 = 0;
Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4)
+ ( y + 2012)
+ ( z - 2013)
.
Nội dung
Điểm

a)
+
= 3


.
. (
+
) = 27.

0,50


9 + 9.
= 27
0,50


(x + 2 ) ( 7 - x ) = 8

x
- 5x - 6 = 0
0,50


x = -1; x = 6.
Vậy phương trình có nghiệm x = -1; x = 6.

0,50