De-dap_an_HSG_toan_9-_tinh_Vinh_Phuc_-2009.doc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————


Câu 1. (3.0 điểm)
Giải hệ phương trình:


Câu 2. (3.0 điểm)
Cho tam giác
và đường tròn
có đường kính
nằm trên cạnh
(
nằm giữa B và F, F nằm giữa E và C) tiếp xúc với hai cạnh
tại
theo thứ tự đó. Các đường thẳng
cắt nhau tại
. Chứng minh rằng


Câu 3. (1.0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương m, n thỏa mãn



Câu 4. (2.0 điểm)
Cho các số thực dương
thỏa mãn
. Chứng minh rằng


Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 5. (1.0 điểm)
Trên bảng hình chữ nhật kích thước
(m hàng và n cột), mỗi ô ghi một số không âm sao cho mỗi hàng, mỗi cột có ít nhất một ô chứa số dương. Ngoài ra, nếu ô (i; j) ghi số dương, thì tổng các số trên hàng i và tổng các số trên cột j bằng nhau.
Chứng minh rằng

—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ tên thí sinh: .....................………………………………………........... Số báo danh: …………













SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————

HDC THI HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008-2009
MÔN TOÁN
—————


Câu
Nội dung
Điểm

I.
3.0 điểm
Viết lại hệ dưới dạng:

0.75


Từ (1)&(2) suy ra:

0.75


Suy ra:

0.50




0.50




0.25


Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm:
hoặc

0.25

II.
3.0 điểm





Gọi H là hình chiếu của K trên BC. Xét trường hợp O nằm trên đoạn HF
Do
nên tứ giác KHFP nội tiếp. Do đó



0.25

0.5


Do AP,AQ là hai tiếp tuyến của (O) nên

Suy ra


0.5

0.5


Từ đó, tứ giác AHOP nội tiếp, do đó
, suy ra

0.5


Trường hợp O nằm trên đoạn EH chứng minh tương tự.
0.25


Trường hợp
thì tam giác ABC cân tại A, và kết quả hiển nhiên đúng
0.5

III
1.0 điểm
Phương trình đã cho tương đương với


0.5


Do
là số chình phương và


nên

0.25


Suy ra
và do đó

Thử lại và kết luận
0.25

IV
2.0 điểm
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
và


0.5


Từ đó


0.5


Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy thì


0.5


Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh
0.25


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ….

0.25

V
1.0 điểm
Ký hiệu số ghi ở ô (i;j) là
và gọi
. Gọi
là tổng các số ghi trên hàng i và cột j. Vậy

Khi đó ta có

0.25


Tính tổng từng vế:

0.25




0.25


Suy ra m = n
0.25

V (Cách2)
+ Nếu trên mỗi hàng, mỗi cột có tổng các số dương đều bằng s thì ms = ns ( m = n
0.25


+ Nếu m = 1 thì trên mỗi cột có đúng một số dương và tổng các số dương trên mỗi cột này bằng s = ns (bằng tổng các số dương trên hàng). Do đó n = 1
0.25


+ Trong trường hợp tổng quát, gọi r < m là số hàng có tổng bằng s, còn trên các hàng khác có tổng khác. Do mỗi cột, mà có giao với r hàng đó tại ô dương có tổng bằng s, nên giả sử có c cột có tổng bằng s. Thực hiện việc đánh số lại các hàng, cột sao cho r hàng đầu và c cột đầu có tổng