Đề + Đáp án HSG Toán 9 Thanh hóa 10-11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ

Đề chính thức

Số báo danh




KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011

Môn thi: Toán
Lớp: 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).


Câu I. (5,0 điểm).
1) Cho phương trình:
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm

với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
khi m thay đổi.
2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn
Chứng minh rằng

là số hữu tỉ.
(b). Cho ba số hữu tỉ
đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

là số hữu tỉ.
Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB,
sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.
Tính

Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (
). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB (
và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (
).
1) Chứng minh rằng
và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.
Câu V. (4,0 điểm).
Cho
là 45 số tự nhiên dương thoả mãn
Đặt
Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu
xuất hiện ít nhất 10 lần.
Cho ba số dương
thoả mãn:

Chứng minh rằng:

............................................................. HẾT ........................................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC

(Gồm có 3 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN
LỚP: 9 THCS
Ngày thi: 24 - 3 - 2011


Câu
Ý
Hướng dẫn chấm
Điểm

Câu I
6 đ
1)
2,5đ
Ta có
nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.
0,5



Theo định lí viet, ta có
, suy ra

1,0




khi

1,0


2a) 1,5đ
 Từ giả thiết suy ra

0,5



Suy ra
là số hữu tỉ
1,0


2b)
1,0đ
Đặt
suy ra

0,5



Áp dụng câu 2a) suy ra
là số hữu tỉ.
0,5

Câu II
6 đ
1)
2,5đ
:
Phương trình tương đương với

1,0



Đặt
ta được phương trình
hoặc

0,5



Với
ta được
(vô nghiệm)
0,5



Với
ta được
suy ra

0,5


2)
2,5đ


Đk:
Hệ tương đương với

0,5



Đặt
ta được hệ


1,0



Với
ta được
(thoả mãn điều kiện)
1,0

Câu III
2đ

Kẻ
tại F,
tại G.
Theo giả thiết





0,5



Mà
và

Suy ra


0,5



Do đó

0,5





0,5

Câu IV
4,0đ




1)
3,0đ

Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến
chung của (O) với (C), (D) tại A, B
tương ứng.
Suy ra










1,0









0,5