De Dap an HSG Toan 9-PHÒNG GD & ĐT Phú Vang.doc

PHÒNG GD & ĐT Phú Vang ĐỀ THI CHỌN DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút )


Bài 1 : ( 4 điểm )
a , Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n5 - n
10

b , Giải phương trình : x2 + x + 12
= 36

Bài 2 : ( 6 điểm )
a, Giải hệ phương trình :

b, Cho 3 số không âm x , y , z thỏa mãn x + y + z = 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A =


Bài 3 : ( 5 điểm )
a , Tìm một nghiệm của đa thức Q ( x ) = x 3 + a x2 + b x + c .
Biết rằng đa thức có nghiệm và a + 2b + 4c = -

b, Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :

P =

Bài 4 : ( 5 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm
Có
BAC = 600 , đường cao AH = 3 cm .
a, Tính diện tích tam giác ABC .
b, Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M , N lần lượt là điểm đối xứng
của P qua các đường thẳng AB và AC . Xác định vị trí của điểm P sao cho
độ dài MN đạt giá trị lớn nhất . Tính độ dài lớn nhất đó .

_____________________HẾT ___________________________

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm .







ĐÁP ÁN TÓM TẮT VÀ BIỂU ĐIỂM

BÀI
Ý
 NỘI DUNG
ĐIỂM











1

4 đ





a

2 đ
Ta có : n5 - n = n ( n4 – 1 ) = n ( n2 – 1 ) ( n2 + 1 )
 0,25 đ



 = ( n – 1 ) n ( n+1 ) ( n2 + 1 )
2 ( 1 )
( Vì ( n – 1 ) n là hai số tự nhiên liên tiếp )
0,5 đ



Mặt khác : n5 - n = n ( n4 – 1 ) = n ( n2 – 1 ) ( n2 + 1 )
0,25 đ



+ Nếu n = 5k thì n5 - n
5 ( 2 )
0,25 đ



+ Nếu n = 5k
1 thì n2 - 1 = (5k
1)2 – 1 = 25k2
10k
5

n5 - n
5 ( 3 )
0,25 đ



+ Nếu n = 5k
2 thì n2 + 1 = (5k
2)2 + 1 = 25k2
20k + 5
5

n5 - n
5 ( 4 )
0,25 đ



Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ( 3 ) và ( 4 )
n5 - n
10 với

0,25 đ







b
2 đ
 Điều kiện : x
-1
0,25 đ



Đặt t =

0
x = t2 - 1
0,25 đ



 Phương trình đã cho trở thành : t4 - t2 + 12t – 36 = 0
0,25 đ




t4 – ( t – 6 )2 = 0
0,25 đ




( t - 2 ) ( t + 3 ) ( t2 – t + 6 ) = 0
0,25 đ






( Vì t2 – t + 6 = ( t-
)2 +
với
t

0,25 đ



Với t = 2
x = 3 ( thỏa mãn )
0,25 đ



Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3
0,25 đ






2




a

3đ
Điều kiện xy
0
0,25 đ








0,5 đ









0,75 đ











0,75 đ



Giải ( 1) ta được
; Giải ( 2) ta được




0,5 đ



Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm : ( 1 ;2 ) , ( 2 ; 1 )