ĐỀ - ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 - ĐỒNG NAI - 2018 - 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG NAI


ĐỀ CHÍNH THỨC
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 29/3/2019
(Đề thi này gồm 1 trang có 5 câu)


Câu 1. (4,5 điểm)
Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình
(với m là tham số thực). Tìm m để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải hệ phương trình
(với x, y thuộc R).
Câu 2. (4,5 điểm)
Giải phương trình

Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:


Câu 3. (4,5 điểm)
1) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa
. Chứng minh rằng: abc chia hết cho 4.
2) Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999.
Câu 4. (2 điểm)
Cho
là tổng của 99 số hạng và
là tổng của 99 số hạng.
Tính A + B
Câu 5. (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của AB, AC với đường tròn (I). Biết ba góc
, đều là góc nhọn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC.
Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC
Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy.
----Hết----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG NAI
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn Toán


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. (4,5 điểm)
Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình
(với m là tham số thực). Tìm m để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:


Ta có:


Dấu “=” xẩy ra khi 2m + 2 = 0

Giá trị nhỏ nhất của P là -12 khi m = -1
Giải hệ phương trình
(với x, y thuộc R).
Giải:

Đặt

Ta có:






Câu 2. (4,5 điểm)
1.Giải phương trình

Giải:

Với x = 0,
(phương trình vô nghiệm.
Với x
0, chia 2 vế của phương trình (*) cho x2.



2.Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:


Giải:




Luôn đúng vì a, b, c là các số dương. Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c.
Câu 3. (4,5 điểm)
1) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa
. Chứng minh rằng: abc chia hết cho 4.
Giải:
Cách 1:

TH1: Nếu a là số nguyên chẵn, suy ra
, theo (1)Suy ra:

Vậy abc chia hết cho 4
TH2: Nếu a là số nguyên lẻ. Với b và c là hai số cũng lẻ thì:

Mà
không chia hết cho 2 (vì a, b, c đều lẻ). Suy ra mâu thuẫn.
Vậy trong hai số, b, c tồn tại ít nhất 1 số chẵn. + Với b chẵn, mà a lẻ nên c chẵn (vì b.c chẵn nên a(b+c) chẵn suy ra c chẵn, vì a lẻ)
Suy ra abc chia hết cho 4
+ Với c chẵn, tương tự abc chia hết cho 4
Cách 2:

Ta thấy a, b, c không thể đều là số lẻ vì nếu vây thì abc là số lẻ, còn b+c là số chẵn.
Vậy trong 3 số tồn tại ít nhất 1 số chẵn.
Nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4, từ (2) suy ra abc chia hết cho 2.
Nếu b chẵn, do a lẻ nên b + c chẵn (vì abc chẵn) suy ra c chẵn. Vậy abc chia hết cho 2.
Tương tự cho trường hợp c chẵn.

2.Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999.
Giải:
Cách 1: Dùng hàm Ơle:
Phân tích số m ra thừa số nguyên tố:

Số các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m là

Ta có:

Có 648 số nguyên tố cùng nhau với 999 và không vượt quá 999.
Vây có 649 số nguyên tố cùng nhau với 999 và không vượt quá 1000.
Cách 2:
Gọi A là