Đề + Đáp án HSG năm 2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - CẤP HUYỆN
HUYỆN HÒN ĐẤT MÔN : TOÁN
NĂM HỌC: 2012 – 2013
THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 phút
( không kể thời gian giao đề)

(ĐỀ CHÍNH THỨC)
Bài 1 (5đ) Cho biểu thức A =

Rút gọn biểu thức A.
Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1+
và y = 1 -

Tìm x, y trong trường hợp y = 2x thì A = 1.

Bài 2 (4đ) Thực hiện phép tính sau:
1)


2) Q = 22011 - 22010 - 22009 - ……….. – 2 – 1 .

Bài 3 (4đ)
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:

chia hết cho 24.
2) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1

Tính: T =




Bài 4 ( 5đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một dây cung MN quay xung quanh trung điểm H của OB. Gọi I là trung điểm của MN. Từ A kẻ tia Ax
MN, cắt MN tại K. Tia BI cắt Ax tại C.
Chứng minh OI
MN, từ đó suy ra tứ giác CMBN là hình bình hành.
Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN.
Khi MN quay xung quanh H thì C di động trên đường nào.

Bài 5 (2đ) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình:
2x2 + 2xy + y2 – 4x +2y + 10 = 0

-----------------HẾT-----------------

Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính





PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - CẤP HUYỆN
HUYỆN HÒN ĐẤT MÔN : TOÁN
NĂM HỌC: 2012 – 2013
(ĐỀ CHÍNH THỨC)
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Câu
Đáp án
Điểm


Bài 1
(5 điểm)
1) ĐKXĐ: x (( y và x ( 0; y ( 0.
Rút gọn đến: A =


Tính đúng: A =

0,5
1


1




2) Thay vào, tính đúng A =
.
1,5




3) Khi y = 2x thì A = 1 ta có hệ PT :

Giải hệ PT : x = 3 ; y = 6 (thỏa mãn)
Vậy x = 3 ; y = 6 thì A = 1.

0,5


0,5

Bài 2
(4 điểm)
1) Ta có : 4P =

=

=



0,5

0,5

1


2) Ta có : 2Q = 22012 - 22011 - 22010 - 22009 - ……….. – 22 – 2
Q = 2Q – Q = 22012 - 22011 - 22011 + (22010 - 22010 ) + (22009 -22009) + ……. + (2-2) +1
Q = 22012 – 2. 22011 + 1 = 22012 - 22012 + 1 = 1
0,5

0,5
1

Bài 3
(4 điểm)
1)

=

=

=

Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2.3.4 = 24 và 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên
chia hết cho 24

0,5

0,5

0,5

0,5


2) Ta có 1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y)
Tương tự ta có: 1+y2 =(y+x)(y+z)
1+z2 =(z+x)(z+y)
T=


=
=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) =2 . Vậy T = 2

0,5

0,5


0,5



0,5

Bài 4
(5 điểm)
1) Vẽ hình đúng
c/m OI
MN
AK // OI
I là trung điểm của BC.
c/m tứ