Đề đáp án đội tuyển HSG lớp 9

ĐÁP ÁN ĐỀ ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9
1/ =
Vậy >
2/ Đặt x = 10000002, y = 20000002
Ta được và
Giả sử x < y
Vậy:
3/ Ta biết:
Vậy: tổng bằng 100 + 100
4/ Ta biết:
5/ Biến đổi:

6/

7/
8/ Giả sử: EFGH nội tiếp hình chữ nhật ABCD, HAD, EAB, FBC, GCD.
Trên cạnh AD lấy H1, H2 sao cho HD = DH1; AH = AH2,
lúc đó H1E = EH; HG = GH1
Gọi p là chu vi của EFGH ta có:
P = (GF + GH) + (HE + EF) = (FG + GH1) + (EF + EH2) FH2 + FH1.
Từ H1 kẻ đường thẳng vuông góc AD cắt BC tại O
H3 đối xứng H1 qua O H1O = OH3= AB, FH3 = FH1
FH1+FH2 = H2F + FH3 H2H3;
Nhưng H1H2 = 2AD
H1H3 = 2AB
Cộng vào ta được p = 2(AD + AB) 2AC p 2AC PCM.
9/ Kẻ đường trung bình EF, EF =
Ngoài ra: BF =
CF =
BEF cân EBF = 450

BF là phân giác ĐPCM.
10/ AC = 3, BC = 4
BH = AH =
Gọi r1, r2 (r1>r2) là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác ACH và BCH.
Ta có: KL
Đề số 7
1/ Biến đổi vế trái về dạng:



2/

3/ Đặt: p = a + b + c; n =
Khi đó:
Vậy ab + ac + bc = p = a + b + c a = b = c = 1.

4/ Giả sử: a, b, c, d là số nguyên và ab + cd chia hết cho a + c.
CMR: ad + bc chia hết cho a + c
5/ Giải phương trình nghiệm nguyên:
6/ Giả sử 2 phương trình có nghiệm chung lúc đó


Vì: nên 0
Nhưng không phải là nghiệm của phương trình trên.
7/ Ta xét:
(*)
Nhưng ngược với trên (*)
Vậy a > 0; b > 0; c > 0.
8/ Gọi Q là điểm cắt nhau của của đường thẳng KN với AB.
CMR: NK AB.
Sau đó OM AB
Suy ra OM // NK
Ta cần chứng minh ON // MK.
OMKN là hình bình hành OM = KN
9/ Kẻ ABC1 đối xứng ABC qua AB H1 đối xứng H qua AB
khi đó LH = LH1; HAB = BAH1
CMR: H1, L, K nằm trên đường thẳng.
Từ vuông CLA và BKA ta có:

Tương tự ta chứng minh:
BLH = ACB ; nhưng BLH = BLH1 LH1K
Tương tự ACC2 đối xứng ABC qua AC.
Ta thấy AH1H2 có H1H2 bằng chu tam giác HKL nên:
AH1= AH2 = h; H1AH2 = 2
p = 2h.sin(p là chu vi HKL).
10/ Kẻ đường cao CH cắt đường thẳng BM tại E, rõ ràng AE = EB và
ACE = BCE (c.c.c). Bởi thế CAE = AME = MAB + MBA =
EAM = CAB - CAE - MAB =
ACE = AEM (c.c.c) AC = AM CAM cân CAM =
CMA =
Đề số 8