Đề + Đáp án chọn HSG cấp huyện 2012-2013

PHÒNG GD – ĐT THIỆU HÓA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
TRƯỜNG THCS THIỆU TÂM NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề số 1:
Bài 1: ( 2 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a. A =
.
b. B =

Bài 2: ( 1,5 điểm) Cho hàm số:
mx – 3x + m + 1
Xác định điểm cố định của đồ thị hàm số?
b. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1(đơn vị diện tích).
Bài 3: ( 2,5 điểm)
a. Chứng minh bất đẳng thức:
.
Áp dụng giải phương trình:
= 5
Cho Q =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
Bài 4: ( 1,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN = BM. Chứng minh: các đường thẳng AM, CN và đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đồng quy tại một điểm.
Bài 5: ( 2,5 điểm)
Cho tam giác ABC có
(a, c là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.


ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 - CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút)

Câu
Ý
Nội dung
Điểm
Ghi chú

1
a
A

A =

0.5

0.5
2.0


b
B =
. Đặt x = 2008, khi đó
B =
=

= x + 1 = 2009

0.25


0.25


0.5


2
a
y = (m – 3)x + (m + 1)
Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số, ta có:
y0 = mx0 – 3x0 + m+ 1 thỏa mãn với mọi giá trị của m




Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4)


0.25


0.25

1.5


b
Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3

S
ABO =


Nếu m> 3
m2 +2m +1 = 2m -6
m2 = -7 ( loại)
Nếu m < 3
m2 +2m +1 = 6 – 2m
m2 + 4m – 5 =0

(m – 1)(m + +5) = 0
m = 1; m = -5


0.5



0.5


3
a
Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có:
a2 + b2 +c2 + d2 +2

a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2



ac + bd (1)
Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m
Nếu ac + bd
0 (1)
( a2 + b2 )(c2 + d2)
a2c2 + b2d2 +2acbd

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
a2c2 + b2d2 +2acbd

a2d2 + b2c2 – 2abcd
0
(ad – bc)2
0 ( luôn đúng)
Dấu “=” xẩy ra
ad = bc


Áp dụng: xét vế trái VT =



Mà VP = 5, vậy dấu bằng xẩy ra





0.5




0.5



0.25

0.25
1.5


b.
Điều kiện: x
0
Q =


Vậy Qmin = 4; Dấu “=” xẩy ra

(TM điều kiện)


0.75

0.25
1.0

4


Hình vẽ chính xác
Gọi H là giao của AM và CN
Xét
và
CNB là hai tam giác vuông có:
AB = CB (Cạnh hình vuông)
BM = BN (gt)


=
CNB (c-g-c)


Xét trong
và
CMH có:

(đối đỉnh), kết hợp với (1)


hay