Đề+ĐA vào 10 chuyên Toán (Vĩnh Phúc 11-12)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Tin
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
————————————


Câu 1 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (P) của hàm số:
và đường thẳng (D):
; trong đó
là tham số.
a) Cho
, tìm hoành độ các giao điểm của (P) và (D).
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số
để (P) và (D) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ không âm.

Câu 2 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình:
.
b) Cho hai số
liên hệ với nhau bởi đẳng thức
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.

Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương
thỏa mãn:

và


Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác
có
Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
Giả sử đường thẳng đi qua
và trung điểm của đoạn thẳng
cắt đường thẳng
tại

a) Chứng minh rằng đường thẳng
chia đôi góc

b) Chứng minh rằng



Câu 5 (1,0 điểm). Trong một hộp có 2010 viên sỏi. Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên sỏi và nhiều nhất là 20 viên sỏi. Người nào bốc viên sỏi cuối cùng sẽ thua cuộc. Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc.
---------------Hết---------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!


Họ tên thí sinh: .....................………………………………………........... Số báo danh: …………








SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin

I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác đúng và đủ các bước vẫn cho điểm tối đa.
- Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm.
- Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu thí sinh không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
Câu 1 (3 điểm).
a) 1,0 điểm
Nội dung trình bày
Điểm

Khi
, hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm PT:

0,25


, có

0,25

Vậy hoành độ các giao điểm là:

0,50

b) 2,0 điểm
Nội dung trình bày
Điểm

Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm PT:

0,25


(1)
0,25

PT (1) có:
, để (P) cắt (D) tại hai điểm phân biệt thì
(2)
0,25

Có:


0,25


, đúng với mọi
.
0,25

Gọi
là hoành độ giao điểm của (P) và (D) ta có:

0,25

Để
thì
, từ (3) và (4) suy ra:
.
0,25

Vậy các giá trị
cần tìm là:

0,25

Câu 2 (3 điểm).
a) 1,5 điểm
Nội dung trình bày
Điểm

Điều kiện:

0,25

Đặt
, suy ra:
, thay vào PT đã cho có:
0,25




0,25


(thỏa mãn điều kiện)
0,25


vô nghiệm do

0,25

Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất
.
0,25


b) 1,5 điểm
Nội dung trình bày
Điểm

Viết lại biểu thức đã cho thành
.
0,50

Như vậy với mọi
và mọi
ta luôn có
(với
)
0,25

Suy ra:
.
0,25

Từ đó có:
, khi