Đề+ĐA vào 10 chuyên Toán Hưng Yên_09-10

Sở giáo dục và đào tạo
Hưng yên
đề chính thức
kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2009 – 2010
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút



Bài 1: (1,5 điểm)
Cho
Hãy lập một phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - 1 là một nghiệm.

Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn và là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5.
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì

Bài 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O và dây AB không đi qua O. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ. D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B). DM cắt AB tại C. Chứng minh rằng:
a)
b) MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
c) Tổng bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi.

Bài 5: (1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ.
------------ Hết ------------

Họ và tên thí sinh:…………………….....……….……...

Chữ ký của giám thị ……………..............….……...…...
Số báo danh:....….….………Phòng thi số:...…...…





Hướng dẫn chấm thi
Bài 1: (1,5 điểm)


0,5 đ

a =
0,25 đ

Đặt
0,5 đ


Vậy phương trình nhận làm nghiệm
0,25 đ


Bài 2: (2,5 điểm)

a) ĐK:
0,25 đ

Giải (2)
0,25 đ

* Nếu
Thay vào (1) ta được
0,25 đ

 (phương trình vô nghiệm)
0,25 đ

* Nếu
Thay vào (1) ta được
0,25 đ

- Với (thoả mãn điều kiện)
- Với (thoả mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)
0,25 đ

b) Đặt (*)
Phương trình đã cho trở thành:
(1)
0,25 đ

Từ (*) ta thấy, để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
0,25 đ


0,25 đ


Vậy với thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
0,25 đ


Bài 3: (2,0 điểm)

a) Vì k > 1 suy ra
- Xét
không là số nguyên tố.
0,25 đ

- Xét
không là số nguyên tố.
0,25 đ

- Xét
không là