Đề+ĐA Toán vào 10 chuyên (B.Định_04-05)

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn


KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học 2004 - 2005
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 15/7/2004


Bài 1: (1,5 điểm).
Giải phương trình:


Bài 2: (2,0 điểm).
Xác định các hệ số a và b để đa thức:

là bình phương của một đa thức khác.

Bài 3: (2,5 điểm).
Cho
. Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên.

Bài 4: (2,5 điểm).
Cho hình chữ nhật ABCD với O là trung điểm của cạnh AB. M, N theo thứ tự là các điểm di động trên cạnh AD và BC của hình chữ nhật sao cho OM luôn luôn vuông góc với ON. Định vị trí của M và N để tam giác MON có diện tích nhỏ nhất.

Bài 5: (1,5 điểm).
Một đoàn học sinh gồm 50 em qua sông cùng một lúc bằng hai loại thuyền; loại thứ nhất, mỗi chiếc chở được 5 em và loại thứ hai, mỗi chiếc chở được 7 em. Hỏi mỗi loại thuyền có bao nhiêu chiếc?


--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .























HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)
-----------------------------------
Bài 1: (1,5 điểm).
Điều kiện x > 0 (*) (0,25 điểm).
Với điều kiện (*) ta có:



(0,5 điểm).




(0,25 điểm).





x = 1 (0,25 điểm).
Đối chiếu với điều kiện (*) ta kết luận phương trình có nghiệm là x = 1. (0,25 điểm).
Chú ý: Nếu học sinh không đặt điều kiện trước mà sử dụng các phép biến đổi tương đương, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

Bài 2: (2,0 điểm).
Đặt P =

Để ý rằng biểu thức
là hai số hạng đầu tiên của khai triển bình phương biểu thức
(0,25 điểm).
Do đó ta có thể viết:

=

(
=

(
=
(0,5 điểm).
Đồng nhất hai vế ta được:

(*) (0,25 điểm).
Từ điều kiện
ta được

( Nếu
= –1 thì từ hai điều kiện trên của (*) ta suy ra a = 7 và b = 6
Khi đó P = x4 – 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 – 3x – 1 )2 (0,25 điểm).
( Nếu
= 1 thì từ hai điều kiện trên của (*) ta suy ra a = 11 và b = – 6
Khi đó P = x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + 1 = (x2 – 3x + 1 )2 (0,25 điểm).
( Kết luận:
hoặc
(0,5 điểm).

Bài 3: (2,5 điểm).
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức kép sau:

(với n
) (1) (0,25 điểm).
Thật vậy:


=
(2) (0,5 điểm).


=
(3) (0,5 điểm).
Từ (2) và (3) suy ra (1) được chứng minh.
Vậy:



(0,5 điểm).



(0,5 điểm).
Do đó 18 < S < 19, chứng tỏ S không phải là số tự nhiên (đpcm). (0,25 điểm).
Chú ý: Nếu học sinh không chứng minh (1) nhưng sử dụng kết qủa (1) để làm bài thì vẫn chấm bình thường và phần nào có làm