Đề+ĐA Toán vào 10 chuyên B.Định 03-04

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn


KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học 2003 – 2004
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 13/7/2003


Bài 1: ( 1,5 điểm).
Cho 0 < a < 1 , hãy rút gọn biểu thức:
M =
.

Bài 2: ( 2,0 điểm).
Cho x, y là hai số thỏa mãn đẳng thức:

( với x
0).
Xác định x, y để tích xy đạt giá trị bé nhất.

Bài 3: ( 2,5 điểm).
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, phương trình:

không có nghiệm nguyên.

Bài 4: ( 2,5 điểm).
Cho 7 đường thẳng bất kỳ, đôi một không song song. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một cặp đường thẳng trong số 7 đường thẳng đã cho, mà góc hợp bởi hai đường thẳng đó nhỏ hơn 260 .

Bài 5: ( 1,5 điểm).
Chứng minh rằng bên trong đường tròn (O; R) không thể vẽ được 25 đường tròn có bán kính bằng
mà đôi một không cắt nhau.


--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .





















HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: Toán (Chuyên Toán)
---------------------------------
Bài 1: ( 1,5 điểm).
Với 0 < a < 1, ta có:
A =
=

=
=
=

=
(1) ( 0,5 điểm).
B =
(2) ( 0,5 điểm).
Từ (1) và (2) ta suy ra:
M =
.
=
( 0,5 điểm).
Bài 2: ( 2,0 điểm).
Ta có:


( 0,5 điểm).
(

( 0,5 điểm).
Vậy giá trị bé nhất của xy là
, điều này xảy ra khi và chỉ khi:

hoặc
( 0,5 điểm).
Kết luận: với
hoặc
thì tích xy đạt giá trị bé nhất. ( 0,5 điểm).
Bài 3: ( 2,5 điểm).
Giải phương trình đã cho ta được:

( 0,5 điểm).
Đặt
, ( k ( 0). Vì n ( Z nên k ( Z. Khi đó
.
Giả sử có ít nhất một trong hai nghiệm trên là số nguyên, chẳng hạn
= a là số nguyên.
Từ đó
hay
là số nguyên.


là số nguyên. ( 1,0 điểm).
Lại đặt
= m , (m ( Z) hay
là số hữu tỉ.
Ta có
là nghiệm của phương trình x2 – k(k + 1) = 0 với hệ số nguyên và hệ số cao nhất bằng 1.
Nếu
= t , (t ( Z) hay k(k + 1) = t2 thì t chắc chắn phải lớn hơn k và nhỏ hơn k + 1. Không có số nguyên nào thỏa mãn điều đó.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. ( 1,0 điểm).
Bài 4: ( 2,5 điểm).
Gọi 7 đường thẳng cho trước là a1, a2, a3, a4, a5, a6, và a7. Từ một điểm O bất kỳ trong mặt phẳng, ta kẻ các đường thẳng b1, b2, b3, b4, b5, b6 và b7 tương ứng song song với các đường thẳng đã cho.
Theo giả thiết các đường thẳng a1, a2, a3, a4, a5, a6, và a7 đôi một không song song, nên 7 đường thẳng b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7 cũng không có hai đường thẳng nào trùng nhau. ( 1,0 điểm).
Do đó 7 đường thẳng b1, b2, b3, b4, b5, b6 và b7 cho ta 7 góc liên tiếp kề nhau: (b1, b2); (b2, b3); (b3, b4