De+Da Toan Ts10 Chuyen THD - Binh Thuan 2010-2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN


KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO

 Năm học: 2010 – 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : Toán ( hệ số 2)
( Dành cho lớp chuyên Toán )
Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
————————————
ĐỀ :
Bài 1: ( 2 điểm)
1/ Tìm tất cả các bộ ba số thực ( x, y, z ) sao cho x + y + z > 2 và


2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì S =
là một số tự nhiên
Bài 2: ( 2 điểm)
Cho hai số a , b thỏa :
. Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất
Bài 3: ( 2 điểm)
1/ Cho a > 0 . Chứng minh rằng :

2/ Với giá trị nào của n nguyên dương thì các số dương a1 , a2 , ….., an thỏa mãn
các đẳng thức a1 + a2 + …..+ an = 2 và

Bài 4: ( 3 điểm)
Cho đường thẳng ( d ) cố định và điểm A cố định không thuộc ( d ) . Hai điểm B, C thay đổi trên ( d ) sao cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ( d ); E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.
1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn ( O ) .
2/ Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng AH với (O) . Chứng minh :
a/ AM.AN = AE.AB
b/ Hai điểm M, N cố định
Bài 5: ( 1 điểm)
Tam giác ABC có độ dài các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Chứng minh ABC là tam giác đều.



—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ tên thí sinh: .....................…………………….. Số báo danh: …………




HƯỜNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1/ Tìm tất cả các bộ ba số thực ( x, y, z ) sao cho x + y + z > 2 và


Giải:






2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì S =
là một số tự nhiên
Giải:
S =

6 , (chú ý rằng :
là 3 số tự nhiên liên tiếp )
Bài 2:
Cho hai số a , b thỏa :
. Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất
Giải:
Ta có :

2 ;
(Cô si)
Vậy :

2.


Suy ra : Min (ab) = -2 ; khi x = 1 ; y = -2 hoặc x = -1 ; y = 2
Bài 3:
1/ Cho a > 0 . Chứng minh rằng :
( tự giải )
2/ Với giá trị nào của n nguyên dương thì các số dương a1 , a2 , ….., an thỏa mãn
các đẳng thức a1 + a2 + …..+ an = 2 và

Giải:
Ta có : (a1 + a2 + …..+ an) (
) = 4

= (1 + 1 + …..+ 1) 2 = n 2 ( Bunhiacopki )

Vậy : n 2
4
n
2
n = 1; 2 (do n
Z+ )
Nếu n = 1 , ta có :
Hệ vô nghiệm
Nếu n = 2, ta có :

Vậy x1 , x2 là nghiệm của pt : x2 – 2x +1 = 0
x = 1
Kết luận chung : n = 1
Bài 4: ( Đọc giả vui lòng vẽ hình )
Giải:
1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn ( O ) .
- Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật

( cùng phụ
)


tứ giác BEFC nội tiếp
2/ Chứng minh :
a/ AM.AN = AE.AB
Xét
AME và
ABN ; có
chung ;
( cùng bù
)
b/ Hai điểm M, N cố định
Để ý : AM.AN = AE.AB =AF.AC = HB.HC = AH 2
Và đường thẳng ( d ) cố định, điểm A cố định , AH không đổi , đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng ( d ) là cố định

Bài 5: ( Đọc giả vui lòng vẽ hình )
Tam giác ABC có độ dài các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Chứng minh ABC là tam giác đều.
Giải:
Gọi S là d.tích tam giác ABC , a, b, c là độ