De+Da Toan Ts10 Chuyen Amterdam Ha Noi v2 2010-2011

Sở Gd - đt Hà Nội
===***===
Vòng 2

 Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 - Toán- tin
ường Chuyên.Amsterdam và Chu văn
Năm 2010-2011
Thời gian 150 phút
23-6-2010
===***===



Bài I. (2 điểm)

Cho n là số nguyên, chứng minh A = n3 + 11n chia hết cho 6.
Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n4 – 3n2 + 1 là số nguyên tố

Bài II. (2 điểm)
Cho phương trình: (m2 + 2m + 2)x2 – (m2 – 2m + 2)x – 1 = 0
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Tìm các giá trị của m để : x12 + x22 = 2x1x2(2x1x2 – 1)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x1 + x2

Bài III. (2 điểm)
Cho a bất kì, chứng minh rằng:
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phương trình:
y2 – x(x – 2)(x2 – 2x + 2) = 0

Bài IV( 3 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn . Đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm E, F.
Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đường tròn đường kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh OA. OB = R2 .
Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đường tròn (O; R) (N khác E và F). Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng:
PN . PK + QN . QK
Bài V. (1 điểm)
Giải phương trình: x8 – x7 + x5 – x4 + x3 – x + 1 = 0
===***===





Một số gợi ý đề chuyên Amsterdam, Chu Văn An 23.6.2010

Bài I. (2 điểm)

Cho n là số nguyên, chứng minh A = n3 + 11n chia hết cho 6.
Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n4 – 3n2 + 1 là số nguyên tố
Gợi ý :
A = (n- 1)n(n + 1) + 12n
Mỗi hạng tử chia hết cho 2 và 3 . suy ra điều phải chứng minh
B =(n2 – n - 1).(n2 + n - 1)
n2 – n – 1 < n2 + n – 1. để B là số nguyên tố thì n2 – n – 1= 1
suy ra n = - 1(loại), n = 2 thoả mãn

Bài II. (2 điểm)
Cho phương trình: (m2 + 2m + 2)x2 – (m2 – 2m + 2)x – 1 = 0
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Tìm các giá trị của m để : x12 + x22 = 2x1x2(2x1x2 – 1)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x1 + x2
Gợi ý :
dễ có phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Theo vi et : thay vào , tìm được m
S
Sau đó xét hiệu S – và hiệu S – ta tìm được max, min.
Hoặc dùng ph