Đề, ĐA thi HSG Toán L9

kỳ thi học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9
Môn : Toán (Vòng 2)
Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút


Bài 1: (7 điểm)
Giải hệ phương trình:
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức:


Thì

Bài 2: (6 điểm)
Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau.
A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và người song sinh của C là hai người khác giới tính và C không phải là con của B. Hỏi trong ba người A, B, C ai là người khác giới tính với hai người kia ?


Bài 3: (7 điểm)
Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Đường tròn (O1) nội tiếp trong tam giác ACD. Đường tròn (O2) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam giác OBD và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Đường tròn (O3) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Đường tròn (O4) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đường tròn (O1). Tính bán kính của các đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R.



Hết












Môn : toán (Vòng 2)
Đáp án và thang điểm:

Bài
ý
Nội dung
Điểm

1.


7,0


1.1
(4,0 điểm)




Điều kiện để hệ có nghiệm là: (*)
0,5



Với điều kiện (*), ta có:
1,0




(vì nên
1,0



Thay vào (a):

vì
So với điều kiện (*), ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất :
1,5


1.2
(3,0 điểm)




Điều kiện:
0,50



Ta có


0,50



Suy ra:
Do đó:

1,0












1,0

2.


6,0


2.1
(4,0 điểm)




Theo giả thiết diện tích của hình vuông có dạng
0,5



nên k chỉ gồm 2 chữ số:

1,0



Nếu y lẻ: Khi đó có chữ số tận cùng là số chẵn, nên chữ số hàng chục của phải là số chẵn khác với 1; 5; 9, do đó S không thể là
1,0



Nếu y chẵn:
Với y = 0: chỉ có thể là 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100 không thoả điều kiện bài toán.
Với y = 2: Khi đó x chỉ có thể là 6 thì chữ số hàng chục của k2 mới là 4, suy ra
Với y = 4; 6: khi đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên chữ số hàng chục của k2 phải là số lẻ, do đó không thể bằng 4 hoặc 6,