Đề+ĐA thi HSG Toán 9 (TT Phù Mỹ-PM 11-12)

PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
TRƯỜNG THCS TT PHÙ MỸ Năm học: 2011 – 2012
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: ( 3 điểm )
Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Câu 2: ( 3 điểm )
Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 - y3 - 2y2 - 3y -1 = 0

Câu 3: ( 2 điểm )
Giải phương trình.


Câu 4: ( 2 điểm )
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1

Tính: T =



Câu 5: ( 4 điểm )
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
.

Câu 6: ( 3 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ( BC, IN ( AC , IK (AB . Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z .
Tìm vị trí của I sao cho tổng x2 +y2 +z2 nhỏ nhất.

Câu 7: ( 3điểm )
Cho tứ giác ABCD, gọi I là giao điểm của hai đường chéo.
Kí hiệu

a. Chứng Minh:

b. Khi tứ giác ABCD là hình thang thì hệ thức trên xảy ra như thế nào?

----------------------HẾT----------------------
Đề thi này có 01 trang.
Giám thị không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Câu
Đáp án
Biểu điểm

Câu 1
(3điểm )
A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
=
(x + y)(x + 4y)
.
(x + 2y)(x + 3y)
+ y4
= (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4
= (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4
= (x2 + 5xy + 5y2 )2
Do x , y
Z nên x2 + 5xy + 5y2
Z

A là số chính phương


0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

Câu 2
(3điểm )
Phương trình đã cho tương đương với : x3 = y3 + 2y2 + 3y +1 (1)
Nhận xét rằng:
(2)

(3)
Từ (2) và (3) suy ra:
< x3

, Vì y





Với y = -1
x= -1. Với y = 0
x= 1
Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm nguyên là (-1; -1) và (1; 0)




1đ
0.5đ

0.5đ

0.5đ


0.5đ

Câu 3
(2 điểm )
ĐKXĐ: x ( -2.


(

(|
+ |
-3| = 1
|
+ | 3 -
| = 1
áp dụng BĐT |A|+ |B| (| A + B| ta có : |
+ | 3 -
| ( 1
Dấu "=" xảy ra khi :
(
)( 3 -
) ( 0 ( 2 (
( 3( 2( x ( 7
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =







1đ
0.25đ


0.5đ
0.25đ


Câu 4
(2 điểm )
Ta có 1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y)
Tương tự ta có: 1+y2 =(y+x)(y+z)
1+z2 =(z+x)(z+y)
T=


=
=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) =2 . Vậy T = 2


1đ



0.5đ

0.5đ

Câu 5
(4 điểm )
Có:

(
=

(