Đề, ĐA thi HSG môn Toán Lớp 9.

kỳ thi học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9
Môn : Toán (Vòng 1)
Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút


Bài 1: (8 điểm)
Cho phương trình
Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và thoả mãn hệ thức .
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của để nghiệm dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2: (4điểm)
Giải phương trình: (2)
Bài 3: (8 điểm)
Cho tam giác ABC có là hai độ dài cho trước), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. Tính diện tích của hình vuông đó.


Hết



















kỳ thi hoc sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9
Môn : toán (Vòng 1)
Đáp án và thang điểm:
Bài 1
ý
Nội dung
Điểm

1.


8,0


1.1
(2,0 điểm)




ể phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, cần và đủ là:

0.5




1.5


1.2
(3,0 điểm)




Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
0,50




0,50




0,5




0,5



Ta có:
và
0,5



Vậy: Có 2 giá trị của m thoả điều kiện bài toán:
0,5


1.3
(3,0 điểm)




Phương trình có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi:

0,50




Khi đó 2 nghiệm của phương trình là:
0,50



Hai nghiệm này không thể đồng thời bằng 0, nên nghiệm dương của phương trình là Suy ra:

0,50



Theo bất đẳng thức Cô-si:
0,50



Suy ra:
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
0,5



Vậy nghiệm dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất là
0,5

2.

(4,0 điểm)




(2)
(3)
0,5





1,0



Giải phương trình theo t, ta có:
(loại);
Suy ra nghiệm của (3) là
1,0



Giải phương trình
Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

1,0






0,5


3.


8,0


3.1
+ Đặt
Ta có:


Suy ra diện tích của MNPQ là:

2,0