Đề+ĐA thi chọn HSG_Toán 9

ĐỀ THI HSG KHỐI 9
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 150 PHÚT



ĐIỂM
Lời phê của giám khảo 1
………………………................
…………………………………
Lời phê của giám khảo 2
………………………................
…………………………………
Chữ kí giám thị 1
………………………..............
………………………………..
Chữ kí giám thị 2
………………………..............
………………………………..


ĐỀ

Bài 1. (4 điểm)
Thu gọn các biểu thức




Bài 2. (4 điểm)
a)
Chứng minh rằng:
, dấu bằng xảy ra khi nào?
b) Chứng minh rằng:
, dấu bằng xảy ra khi a, b bằng bao nhiêu?
Bài 3. (4 điểm)
a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình :

Bài 4. (3 điểm) CMR: n
- n

12 với
n
N
Bài 5: (5 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và dây cung CD. Vẽ AP và BS vuông góc với CD. Chứng minh rằng OP = OS > R




Hướng dẫn chấm

Bài
Đáp án
Biểu điểm

Bài 1. a)




0,25

0,25

0,25


0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

b)


Ta có:




………………………….


Cộng vế theo vế, ta được:






1,0







0,5

0,5

Bài 2. a)
Chứng minh rằng:
, dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải
Ta xét hiệu

=
.
Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c







1,0

0,5

0,5

b)
Chứng minh rằng:
, dấu bằng xảy ra khi a, b bằng bao nhiêu?
Giải
Ta có:






. Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy
. Dấu bằng xảy ra khi a=b=1




0,5
0,5
0,5
0,5

Bài 3. a)
a) Giải phương trình:
(1)
Giải
ĐKXĐ:



TH1: Nếu
thì

. Phương trình có vô số nghiệm thỏa

TH2: Nếu
thì

(nhận)
Vậy phương trình có vô số nghiệm thỏa







0,5



0,5

0,5


0,5

b)
Giải hệ phương trình :



Giải phương trình

TH1: Nếu
thì

(loại)
TH2: Nếu
thì

(nhận)
Với
thay vào phương trình (2), ta được:


TH1: Nếu
thì

(nhận)
TH2: Nếu
thì

(nhận)
Vậy (4;1) và (-8;1) là hai nghiệm của hệ phương trình



0,5


0,5


0,5



0,5





Bài 4
CMR: n
- n

12 với
n
N
Giải
Ta có: n
- n
= ( n – 1).n.n(n+1)
Nhận xét : 12 = 3.4 và (3,4) =1
-Trong tích hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2
( n- 1).n
2
n(n+ 1)
2

n
- n

4 ( 1 )
Trong tích 3 số tự nhiên liên tiếp có một số là bội của 3
( n – 1).n.(n + 1)
3 (2 )
Từ (1) và (2) suy ra n
- n

12
n
N


0,5
0,5

0,5

0,5

0,5
0,5

Bài 5
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và dây cung CD. Vẽ AP và BS vuông góc với CD. Chứng minh rằng OP = OS > R
Giải
- Vẽ hình, ghi GT, KL đúng


Chứng minh:
Vẽ OH
DC, H
DC. AP
DC, BS
DC
OH // AP, AP // BS.
Tứ giác APSB là hình thang (AP // BS) mà OA = OB = R
HP = HS.
HP = HS