De+Da HSG Toan9 huyen Yên Thành - 2011

PHÒNG GD&DT YÊN THÀNH

đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán - Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1. (2đ)
Cho biểu thức:
A=

a, Rút gọn biểu thức A
b, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Bài 2. (2đ)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B =
Bài 3. (2đ)
Giải phương trình:

Bài 4. (3đ)
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, F và H lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC, O là giao điểm của các đường trung trực
ABC; G và E tương ứng là trọng tâm các
ABC và
ACD. Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại I. Chứng minh:
a,
b, ADG ~ DOE đó suy ra OECD
Bài 5. (1đ)
Chứng minh rằng nếu tam giác mà độ dài các đường trung tuyến đều bé hơn 1 thì diện tích tam giác đó bé hơn 0,67.



Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm







Hướng dẫn chấm toán 9
Câu
Nội dung
Điểm

1
a, Điều kiện :



b, A
nguyên
nguyên

Ư(4)
*
= 1

*
= -1
(loại)
*
= 2

*
= -2

*
=4

*
=- 4 : Không có x
Vậy x
{1;16;25;49}


2
+ ĐK: 1- x- 2x2 0
(x+1)(1-2x) 0
- 1 x

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 1 và (1- x- 2x2) .
Ta có:


Hay




Dấu bằng xẩy ra

Vậy giá trị lớn nhất của B là 1 khi x = 0



3


(1)
ĐK:



(2)




(1)



(*)
Đặt
(*) trở thành:



(thoả mãn 2)

(loại)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là:



4

















a, GHI ~ ADO
b, mà DE =
=

GH =



Mặt khác góc DAG bằng góc ODE
Suy ra ADG ~ DOE
Góc AGD bằng góc DAO suy ra OECD


5
- Ký hiệu:
+ Các trung tuyến và đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C tương ứng là ma, mb , mc và ha , hb , hc
+ Các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C tương ứng là a, b, c
+ Diện tích tam giác ABC là S
- Ta có 2S < a.ha = b.hb = c.hc (1)
có aha < ama < a (2) vì ma < 1
Tương tự: bhb < b (3); chc < c (4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có 6S < a + b + c (5)
mà a <
(mb + mc) <
(vì độ dài các đường trung tuyến nhỏ hơn 1)
Tương tự b <
, c <
.
Vậy từ (5) suy ra S < 0,666... hay S < 0,67




Ghi chú: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa