De+Da HSG Toan9 huyen Anh son - 2010

đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009-2010
Môn : Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút


Bài 1: Chứng minh rằng : A = 2130 + 3921 chia hết cho 45.
Bài 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a,  +  =5
b,
Bài 3: Tìm tích abc biết rằng:
Bài 4: Cho x2+y2 =1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S =(2-x)(2-y)
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC, đường cao AH . Đường tròn tâm O’ đường kính AH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là G, cắt AB và AC lần lượt tại M và N .
a, Chứng minh : AM.AB = AN.AC.
b, Các tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại M và N cắt BC lần lượt tại I và K , so sánh IK và BC.
c, Chứng minh các đường thẳng : AG; NM và CB cùng đi qua một điểm.






















hướng dẫn chấm toán lớp 9.

Bài 1 (3,0 đ): A= 2130 + 3921 = 330. 730 + 321 . 1321
0,5 đ

 A= 321( 39.730 + 1321)


 Kết luận được A chia hết cho 9 (1)
0,5 đ

 A= 2130 + 3921 = (2130 -1) + (3921 + 1)
0,5 đ

 A= (21-1)P + (39+1)Q (P và Q nguyên)
0,5 đ

 A = 20(P+2Q) chia hết cho 5 (2)
0,5 đ

 Vì (5;9)=1 kết hợp (1) và (2) ta có A chia hết cho 45.
0,5 đ

Bài 2: a, Nhận xét :  = 
(3.0 đ)  =
Vậy tìm được ĐK là: x( 1

0,75 đ

0,5 đ

 HS biến đổi được:  + = 5


  +2+ = 5
0,5 đ

 + Nếu x( 10, ta có : +2+-3=5( x=10 (thoả mãn)
0,5 đ

 + Nếu 1( x<10, ta có 5=5 (luôn đúng)
Vậy nghiệm của phương trình là 1( x( 10

0,75 đ

b, Điều kiện x,y( 0
(2,0 đ) Từ
( (x,y(0,0) ( x2010+y2010 > 0

0,5 đ

 Nếu x>y thì PT thứ 2 có VT > 0 > VP ( Vô nghiệm)
Nếu y>x thì PT thứ 2 có VP > 0 > VT (Vô nghiệm)
0,5 đ
0,5 đ

 Nếu x=y , HS kết luận được thoả mãn PT thứ 2.
Thay vào PT thứ nhất và tìm được: x = y = 1

0,5 đ

Bài 3 (2,0 đ): Ta có
nên
0,5 đ

 Ta có :


 =>
0,5 đ

 Vì


 =>
0,5 đ

 Nếu a=b=c=1 thì trái với giả thiết a2=b2=c2=1.


 HS kết luận được có ít nhất 1 số bằng 0 vậy tích abc = 0.
0,5 đ


Câu 4: Ta có: S = 4-2x-2y+xy


(3,0 đ) 2S = 8 - 4x – 4y + 2xy


 2S = 1+4+3 - 4x – 4y + 2xy
0,5 đ