De+Da HSG Toán9 Hà Tĩnh - 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2010-2011
LỜI GIẢI MÔN TOÁN LỚP 9
(Lời giải gồm 02 trang)

Bài
Đáp án

Bài 1

a)
(1). Đk:
.
Khi m = 2: (1) trở thành







(thoả mãn)


b) Đặt
(2), ta có :
.


Khi đó (1) trở thành :
(3)






Từ (2) ta được
, với mỗi giá trị tùy ý của t, phương trình này luôn có đúng 1 nghiệm dương (nghiệm còn lại âm), mà (3) đã có 1 nghiệm t = 1, nên để (1) có đúng 2 nghiệm dương phân biệt thì điều kiện cần và đủ là : Phương trình (4) hoặc có nghiệm kép
hoặc có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm t = 1 . Điều đó tương đương với :



 ;
(cả 2 giá trị thoả mãn)
Vậy cácgiá trị của m cần tìm là








Bài 2

a) Từ giả thiết




(*)


Từ (*) dễ thấy khi a, b, c
thì
, đpcm.


b)
(1)
Do
là nghiệm của (1) nên:



Biến đổi và rút gọn, ta được:
(2)


Do a, b là các số hữu tỷ nên (2) chỉ xảy ra khi và chỉ khi



Thay các giá trị của a, b vào (1), ta có:
.



. Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm là:






Bài 3

Có thể giả sử: x > y, suy ra:
(1). Đặt 2011 = a.
Khi đó: P =

P =


P
(2)
Vì 3a - 2 >0,
(do (1)) nên hàm số y = mX2 (với m = 3a - 2,
) đồng biến khi X > 0, suy ra P là hàm số đồng biến


Suy ra: Giá trị lớn nhất của P đạt được tại x = 2010 (y =1) và max P = 8 120 605 021.
Giá trị nhỏ nhất của P đạt được tại x = 1006 (y = 1005) và min P = 2 035 205 401.












Bài 4

a)




Từ giả thiết suy ra:

(đồng vị)

(đồng vị)
nên
~








2

(1)


Ta có
0 (cùng bù với
do ME//ON)
Tương tự
nên

(2)
Từ (1), (2) ta được
~



b)



Ta có :

=
. nên K thuộc cung chứa góc 1200 dựng trên đoạn MN.
Trên tia MK, lấy điểm I sao cho
KI = KN thì tam giác IKN là tam giác đều nên MK + KN = MI.



Do I thuộc cung chứa góc 600 của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, I nên MI lớn nhất
(tức chu vi tam giác MKN lớn nhất, vì cạnh MN = R không đổi) khi và chỉ khi MI là
đường kính, khi đó K là trung điểm của cung MN nên



đó là vị trí cần xác định của dây MN.





Bài 5

Gọi vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là P, ta cần chứng minh P
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương, ta có:



(2)


Tương tự, ta có:
(3) ,
(4)


Lấy (2) + (3) + (4) theo từng vế rồi rút gọn và áp dụng tiếp bất đẳng thức Cô si, ta được:

, đpcm. (Dấu “=” xảy ra

)


____________ Hết ___________