Đề + ĐA HSG Ngọc Lặc ( 2010-2011)

Phòng Gd & Đt
Ngọc Lặc
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện
năm học 2010 – 2011 .
Môn : Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Câu 1 (3,5 điểm): Cho biểu thức: A =

Rút gọn A.
Tính giá trị của A biết:
và


Câu 2 (3,5 điểm):
Cho đường thẳng (d) có phương trình :
(m là tham số)
Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;1).
Chứng minh rằng các đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m.
Tìm m để đường thẳng (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.

Câu 3 (2,0 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:


Câu 4 (3,0 điểm): Cho a > 0; b > 0 và a + b = 1.
Chứng minh rằng:

Câu 5 (2,5 điểm): Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích là S,
. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích tứ giác EMFN theo S.

Câu 6 (4,5 điểm): Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC = 2R và A là một điểm trên nửa đường tròn đó. Vẽ AH vuông góc với BC. Gọi I và K lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB và AC.
Chứng minh ba điểm: I, A, K thẳng hàng.
Chứng minh IK là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
Xác định vị trí của điểm H trên BC để diện tích tứ giác BIKC đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Câu 7 (1,0 điểm): Cho hai đa thức
và

Tìm đa thức dư của phép chia P(x) cho Q(x).

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm về đề thi

Họ tên thí sinh: …………….……………………… Số báo danh: …………………..……
Phòng GD& ĐT Ngọc Lặc
Đáp án và hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Môn Toán lớp 9 năm học 2010-2011

Câu
ý
Đáp án
Điểm

Câu 1
3,5đ
a.
2,5đ
+ ĐKXĐ: a>0; b>0 và

+ Ta có






0,5đ

0,5đ


0,5đ

1,0đ


b.
1,0đ
Ta có:
và b = 5
Suy ra


1,0đ

Câu 2
3,5 điểm
a
10đ
Vì (d) đi qua điểm A(2;1) nên thỏa mãn:



1đ


b
1,25đ
Gọi điểm cố định mà (d) đi qua là M(x0;y0) ta có






Vậy điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua là M(1;-2).


0,5đ


0,75đ


c
1,25đ
Vì (d) không đi qua gốc tọa độ O(0;0)
Nên (d) giao với trục Oy tại Q(0;
)
giao với trục Ox tại P(
)
(m
)
Kẻ
.
Trong tam giác vuông POQ ta có:







Với m = 1, ta có (d): y = -2, khoảng cách từ O đến (d) là 2 <

Với m