ĐỀ - ĐA HSG 2017-2018

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017–2018
MÔN: TOÁN 9
(Thời gian làm bài 120 phút)



Bài 1 (4,0 điểm). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

b)

(Với a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 1)
Bài 2 (3,0 điểm)
a) Tìm các số a, b sao cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho đa thức x2 – 3x + 2.
b) Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương với x, y, z là các số nguyên.
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Tìm m để phương trình:
vô nghiệm.
b) Giải phương trình:
.
c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
.
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm. Tính BC, AC.
b) Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE
c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với BC cắt HE tại N. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng.
d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui.
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (Với a, b, c, d là các số thực)
Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính giá trị biểu thức A =
.

–––––––––––––––Hết––––––––––––––––

Họ và tên thí sinh: .................................................................................
Số báo danh: .................................................Phòng số:.........................



PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
mÔN: TOÁN 9
(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang)



BÀI
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM

1
a
2.0


0.5





0.25





0.25





0.25





0.25





0.25





0.25


b
2.0
Vì a, b, c dương và a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa và 0 < a,b,c < 1. Ta có:
0.25





0.25





0.5





0.25





0.25




(vì 0 < a,b,c < 1)
0.25



Tính đúng: B = 2
0.25

2
a
2.0
Ta có: x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2). Theo bài ra: f(x)

0.25



f(x) chia hết cho x – 1
f(1) = 0
0.25




a + b = 0
b = –a (1)
0.25



f(x) chia hết cho x – 2
f(2) = 0
0.25




8a + 2b = –15 (2)
0.25



Từ (1) và (2)
8a + 2(–a) = –15
a = –

b =

0.25



Thử lại: (x4 –
x3 +
x – 1):(x2 – 3x + 2) = x2 +
x –

0.25



Vậy a = –
, b =

0.25


1.0
B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
0.25



B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2
0.25



B= 4(x2 + xy + xz)2 +