Đề + ĐA chuyên Quốc Học Huế 2006

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006
* * * * * MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC

Số báo danh: .......... Phòng: ........

Bài 1: (2,5 điểm)
Tìm các số thực
biết :
và
.
Giải phương trình :
.

Bài 2: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) có đường kính BD = 2R, dây AC của (O) vuông góc với BD tại H. Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AD, CD, CB.
Chứng tỏ : HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 .
Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp .
Chứng minh : PR + QS
AB + AD .

Bài 3: (3 điểm)
Đặt
=
;
=
. Chứng tỏ rằng :
.
Chứng tỏ :

với mọi số thực
.
Suy ra với
là các số dương ta luôn có :
.
Phân chia chín số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thành ba nhóm tuỳ ý, mỗi nhóm có ba số. Gọi T1 là tích của ba số của nhóm thứ nhất, T2 là tích của ba số của nhóm thứ hai và T3 là tích của ba số của nhóm thứ ba. Hỏi tổng : T1 + T2 + T3 có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ?

Bài 4: (1 điểm)
Một thùng sắt đậy kín hình lập phương. Biết rằng trong thùng chứa 9 khối có dạng hình cầu cùng bán kính, làm bằng chất liệu rất rắn .
Chứng minh rằng nếu cạnh của thùng hình lập phương là a thì đường kính của các khối cầu bên trong nó nhỏ hơn hoặc bằng (
)a.

-------------------Hết---------------------

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006
* * * * * MÔN : TOÁN

THANG ĐIỂM - ĐÁP ÁN

Câu
 Nội dung
Điểm

1a
(1đ)
Ta có :
và

0,25


u3 và v3 là các nghiệm của phương trình:

0,25


Do đó :
hoặc

0,25


Vậy:
hoặc

0,25





1b
(1,5đ)
Viết lại :

0,25




0,25


Đặt :
, phương trình trở thành:
hay:

0,25


Giải ra :

0,25


Với
, giải ra :

0,25


Với
,giải ra :

0,25





2a
(1đ)





 HA2+ HB2 = AB2
HB2+ HC2 = BC2
HC2+ HD2 = CD2
HD2+ HA2 = DA2
0,25


2(HA2+ HB2+ HC2+ HD2 )= AB2+ AD2 + BC2+ CD2
0,25


 = 4R2 + 4R2
0,25


Vậy : HA2+ HB2+ HC2+ HD2 = 4R2
0,25





2b
(1đ)
Tứ giác HPBS nội tiếp :
.
0,25


HPAQ là hình chữ nhật :
.
Do đó :
.
0,25


Tương tự:

0,25


Do
nên

SPQ+
SRQ = 1800

0,25


Chú ý: PQRS là hình thang cân.


2c
(1,5đ)
 Ta có : PR
HP+HR
0,25


Gọi E là trung điểm AB,ta có:HP
HE =
AB. Gọi F là trung điểm CD,
HR
HF =
CD
0,25


Do đó : PR

AB +
CD
0,25


Tương tự :QS

BC +
AD
0,25


Mà : AB=BC ; AD=CD
0,25


 Do đó : PR + QS
AB +AD
0,25

3a
(1đ)





Cần chứng tỏ :

0,25


Hay :
(*)
0,25


Vế phải của (*) :

0,25


Do :
2 =2 ;
3 =2 ;
=
=
2 ;
=
nên (*) đúng .
0,25


Chú ý : Có thể trục căn