ĐỀ 20

ĐỀ 20


Câu 1: ( 4,0 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên:

Phân tích đa thức thành nhân tử: B = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.
Tìm a để
chia hết cho 11
Câu 2: ( 4,0 điểm)
Cho biểu thức:
với x > 0 và x ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P =

c) So sánh P2 với 2P
Câu 3 a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác (1 điểm):
Chứng minh:
(
)
.
b) Rút gọn biểu thức sau (1 điểm):


c) Chứng minh đẳng thức:
= cot450 (1 điểm)
Câu 4: a) Giải hệ phương trình sau ( 2,0 điểm):

Cho
. ( 2,0 điểm):
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của B và các giá trị tương ứng của x
Câu 5. ( 5,0 điểm) Cho nữa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nữa đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến d (C khác A và B). Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB.
Chứng minh CE = CF
Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAE
Chứng minh CH2 = AE.BF
Xác định vị trí của C để tích AE.BF lớn nhất.
Hết

- Học sinh không được sử dụng máy tính
Câu

Nội dung – Yêu cầu

1
a







b
 B = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
Đặt t = x2 + 8x + 7 - Thì B = t(t + 8) + 15 = t2 + 8t + 15 = (t + 3)(t + 5)
Hay B = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)


c
 Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c). Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5.
Giả sử a = 5 --> 5bc = 5(5+b+c) ( bc = 5+b+c.( bc -b - c + 1 = 6 ( (b-1)(c-1) = 6
b,c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ:

và

Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7


d
 Tổng các chữ số ở vị trí lẻ là 1+a+1=a+2 và tổng các chữ số ở vị trí chẵn là a+a=2a

chia hết cho 11
2a – (a+2) = a-2 chia hết cho 11
a=2

2
a




b
 Ta có:
(với x>0; x≠1)


Vậy với x =4 thì P =



c
Ta có:
( Với x > 0; x ≠ 1)
Mà
với mọi x > 0

(với x>0; x≠1)
Ta lại có
với x>0


Vì P > 0 và P < 2 nên P(P – 2) < 0 => P2 – P <0 > P2 < 2P
Vậy P2 < 2P


3
a
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0
Ta có:
;
;


(cộng vế theo vế)


=
(nhân 2 vế với
) Đẳng thức xảy ra khi a= b = c hay
ABC đều


b


Ta có:

Tương tự ta có


=



=

=



c







= 1
= cot450 (đpcm)

4
a

(
(

Được:
hoặc

Giải hệ:
ta được:

Giải hệ:
ta được:




b