Đáp án và Đề HSG Toán 9 (1)

đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn toán
Thời gian làm bài 150 phút
-----------------------------------------------



Đề 1
Câu 1:
Tính giá trị biểu thức:
Với
Câu 2:
Cho hàm số y = mx2 + (m + 3)x + 1 – 6m (1)
Chứng minh rằng trên mặt phẳng toạ độ xOy, đồ thị của hàm số (1) đã cho luôn luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.

Câu 3:
Chứng minh bất đẳng thức:


Câu 4:
Gọi hai nghiệm x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
x2 + (m2 +5)x – 1 = 0 với
Tính tổngtheo m
Tìm các giá trị của m để sao cho chia hết cho 3.

Câu 5:
Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E. Tia Cx vuông gốc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF.
1. Chứng minh rằng :
a. và

b. Khi điểm N chạy trên cạnh AB nhưng không trùng với A,B thì trung điểm M của đoạn EF luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
2. Xác định vị trí của N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.



Hướng dẫn chấm học sinh giỏi toán 9
đề I
Câu 1:
Biến đổi tử số:

Biến đổi mẫu số:

Vậy thay vào biểu thức A ta có:

Vậy A=32007
Gọi A (x0; y0) là điểm nào đó mà đồ thị hàm số luôn luôn đi qua mọi giá trị của m. Vậy x0; y0 phải thoả mãn với mọi m:

Phương trình (*) đúng với mọi m nên phải có :
Phương trình (1) có 2 nghiệm x0=2 ; x0=-3
Thay x0 = 2 vào (2) ta có y0=7; thay x0=-3 vào (2) ta có y0= -8
Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn luôn đi qua hai điểm A(2;7) và B(-3;-8)

Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức:

Đặt n=2007 ta cần chứng minh:
(1)
Viết : (2)

Cộng (1) với (2) được
Mỗi mẫu số trong các số hạng của(3) có dạng:
(n + k)(3n – k + 2)=(2n + 1)2- (n – k + 1)2< (2n + 1)2 với 1 ≤ k ≤ 2n + 1
của (3) có 2n + 1 số hạng nên

Câu 4
Đặt a=m2 + 5, ta có phương trình:
x2 + ax – 1 = 0 với aZ. theo định lý Vi ét : x1 + x2 =-a, với aZ và x1.x2 =-1
Biến đổi
từ
và
Thay vào (1) được:

Thay a = m2 + 5 vào (2) ta được:

b. Từ (2)ta có:
Ta chứng minh rằng:
đặt b = 3t + r với r = 0,1,2 thì b3 = 27t3 + 27t2 r + 9tr 2 + r3 nghĩa là
vậy (3) xẫy ra khi
hay (4)
đặt m = 3t + rvới r= 0,1,2 thì (4) xẫy ra m = 3t
Vậy
Câu 5:











1.Hai điểm A và