Đáp án môn Toán 9 năm học 2013-2014 (TX Hoàng mai)

PHÒNG GD&ĐT HOÀNG MAI
HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TRƯỜNG CẤP THCS
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN.

 (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
----------------------
Câu 1. (6.0 điểm):
Cho biểu thức

Rút gọn biểu thức P.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 2. (4.0 điểm):
Tìm số tự nhiên n sao cho
là số nguyên tố.
Cho hai số thực x, y bất kỳ thỏa mãn phương trình:


Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức
.
Câu 3. (4.0 điểm):
Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
.
Giải phương trình sau:
.
Câu 4. (1.0 điểm):
Cho a, b, c là các số dương và thỏa mãn:

Chứng minh:

Câu 5. (6.0 điểm): Cho đường tròn (O) hai đường kính AB và MN. Qua A vẽ tiếp tuyến xy, đường thẳng BM cắt tiếp tuyến xy tại C, đường thẳng BN cắt tiếp tuyến xy tại D. Gọi P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của AD; H là trực trâm của tam giác BPQ.
Chứng minh AH.AB=AP.AQ
Chứng minh H là trung điểm của OA.
Cho AB cố định. Tìm vị trí của đường kính MN sao cho diện tích tam giác BPQ có giá trị nhỏ nhất.
Câu 6. (1.0 điểm): Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Chứng minh rằng nếu cotB=3cotC thì AM=AC.

-------Hết-------
Họ và tên thí sinh:………………………………………………….SBD:……………




ĐÁP ÁN
Câu
Nội dung

1
a) ĐKXĐ:
. Rút gọn

b)

Dấu “=” xảy ra
(TMĐKXĐ)

2
a)

Để p là số nguyên tố thì:
TH1:
và
số nguyên tố
n=3 và
=7 số nguyên tố
TH2:
=1 và n-2 số nguyên tố

và n-2=0 không là số nguyên tố.
Vậy n=3 thì p là số nguyên tố.
b)

vì
suy ra



Dấu “=” xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của S=10 khi x=1, y=1
giá trị lớn nhất của S=40 khi x=7, y=1


3
a)

KQ:

b) ĐKXĐ:

Đặt


.
Dấu “=” xảy ra khi

VP:
. Dấu “=” xảy ra khi

Do đó

Vậy phương trình có nghiệm x=6


4
Áp dụng BĐT


Ta có





Dấu “=” xảy ra khi



5
a) Dễ dàn chứng minh được
(g.g)
Suy ra AH.AB=AP.AQ
b)
vuông tai B ( vì MN đường kính)
Xét
ta có


Kết hợp với câu a) ta có


H trung điểm của OA
c)

vì
không đổi suy ra AC+AD nhỏ
nhất khi AC=AD
Do đó
nhỏ nhất khi AC=AD
vuông cân tại B, khi đó MN đường trung bình của

Suy ra

Vậy khi
thì
có giá trị nhỏ nhất

6
Kẻ đương cao AH. Ta có cot B=
; cot C=

Suy ra


H trung điểm MC
AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến của
suy ra
cân tại A




-----Hết----