Đáp án môn Toán 9 năm học 2013-2014 (Huyện Quỳnh Lưui)

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
LỚP 9 Năm học 2013-2014


ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: Toán - Thời gian làm bài: 120 phút






Câu 1: (2,0 điểm)
Cho

Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
Đặt B = A + x – 1. Tìm GTNN của biểu thức B.

Câu 2: (1,5 điểm)
Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0

Câu 3: (2,5 điểm)
Tìm x, y biết :

b) Giải phương trình :

Câu 4: (1,0 điểm)
Cho hai số thực
. CMR :

Câu 5: (2,0 điểm)
Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn
Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ?
Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O.
------Hết------








ĐÁP ÁN
Câu 1: ( 2,0 điểm)
a) ĐKXĐ:




b) B = A + x – 1=

Dấu “=” xảy ra
( TM ĐKXĐ)
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1

Câu 2: ( 1,5 điểm)






KQ:


Câu 3: (2,5 điểm)
a) ĐKXĐ:





( TM ĐKXĐ)
Vậy (x;y)=(1;1)
b)


ĐKXĐ :


(*)
Nếu
phương trình (*)

(TM)
Nếu
phương trình (*)
( TM)
Vậy phương trình có nghiệm x=1; x=5
Câu 4: (1,0 điểm)




Câu 5: ( 2,0 điểm)
a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( vì AB đường kính) suy ra

Gọi C là trung điểm của KF ta có

hay

Suy ra 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn tâm C.
b) Ta có AE vừa là đường cao vừa là phân giác của tam giác AHK nên AH=AK và HE=EK
EC là đường trung bình của tam giác HKF nên EC
HF, mà EC=
KF nên HF=KF.
K là trực tâm của tam giác FAB nên
, mà
do đó AH//KF suy ra
.

suy ra AH=KF
Do đó AH=AK=KF=EH và
nên tứ giác
AHFK là hình thoi.
c) Vì AHFK là hình thoi suy ra HF//AM, mà
nên
(1)
Mặt khác HK là trung trực của AF hay BH là trung trực của AF nên BF=AB=2R (2)
Từ (1) và (2) suy ra HF là tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định.