Đáp án KT GV môn Toán bồi dưỡng hè 2013

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA GIÁO VIÊN BỒI DƯỠNG HÈ 2013
Môn Toán


Câu 1 ( 1,5 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy-2x+3y = 27
b) Tìm số nguyên tố p, sao cho p+ 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy-2x+3y = 27
Ta có: xy-2x+3y = 27
x(y-2)+ 3(y-2) = 21
(x+3)(y-2)= 21
Do đó :



Vậy nghiệm của phương trình là : (x ,y)=


b) Tìm số nguyên tố p, sao cho p+ 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố
Ta có : p.(p+2).(p+4) chia hết cho 3. Mà p + 2 và p + 4 là số nguyên tố nên không chia hết cho 3. Suy ra p phải chia hết cho 3 mà p là số nguyên tố nên p =3
Vậy p = 3

Câu 2 (2,0 điểm)
Cho biểu thức 

+ Rút gọn biểu thức: P =

+ Tính giá trị của biểu thức A khi:

b) Cho a+b+c =1 và
. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 = 1

a) Ta có:




Khi đó P =


Tính giá trị biểu thức A
Ta có:

Do đó


b) Ta có :

(1)
a+b+c =1
a2 + b2 + c2 +2(ab+bc+ca)= 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a2 + b2 + c2 =1(đpcm)

Câu 3 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình sau:
(2x2 +x-2014)2 +4(x2 -5x-2013)2 = 4(2x2 +x-2014) (x2 -5x-2013)
b) Giải hệ phương trình sau:



a) Ta có:
(2x2 +x-2014)2 +4(x2 -5x-2013)2 = 4(2x2 +x-2014) (x2 -5x-2013)

((2x2 +x-2014)-2(x2 -5x-2013))2 = 0

2x2 +x-2014 = 2(x2 -5x-2013)

11x = - 2012



Vậy nghiệm của phương trình là:


b) Ta có:

với

Ta nhân cả hai vế của từng phương trình với 2 rồi cộng từng vế của các phương trình trong hệ ta được:


Vậy nghiệm của hệ phương trình là:


Câu 4 ( 2,5 điểm)
Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác điểm B di chuyển trên đường tròn (O)đường kính AB sao cho AC > BC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tiếp tuyến A tại D, cắt AB tại E. Hạ AH vuông góc với CD tại H
a) CMR: AD.CE = CH. DE
b) CMR: OD.BC là một hằng số.
c) Giả sử đường thẳng đi qua E vuông góc với AB cắt AC, BD lần lượt tại F, G.
Gọi I là trung điểm AE. CMR trực tâm của tam giác IFG là một điểm cố định.

a) Hình vẽ







a) Ta có ∆HAD đồng dạng ∆AED(g- g)
Suy ra

Do đó: AD.AD = HD. DE (1)
Xét ∆ADC có: DC = DA (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Mà
DAC=
DCA = 600
Nên ∆ADC đều
Suy ra AC= DC = AD = CE (2) , mà AH vuông góc với DC nên HD = CH (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
AD. CE = CH . DE ( đpcm)


b) Xét tam giác COE có:
OCE = 900 ,
CEO = 300 suy ra BO = BE = BC = R
Mà CE= CD nên BC là đường trung bình của tam giác ODE, do đó:
OD.BC = 2BC. BC= 2R2 không đổi

Xét tam giác IFG có: IE
FG (gt)
Ta có tam giác CEF đều, mà BC = BE nên FB
CE (1)
Mặt khác tứ giác CEGI là hình bình hành do đó CE// IG (2)
Từ (1) và (2) suy ra FB
IG
Khi đó IE và FB là hai