Đáp án kiểm tra Toán 9 (đề 17)

ĐÁP ÁN ĐỀ 17

Bài 1: Cho các số dương a, b thỏa mãn:
.
Chứng minh rằng:

Lời giải:
Ta có:





Từ đó suy ra:
.
ĐPCM.

Bài 2: Giả sử x, y là các số thỏa mãn đẳng thức:


Tính giá trị của biểu thức S = x + y
Lời giải:
Ta có:






(1)
Tương tự như vậy, ta cũng có:
(2)
Trừ vế theo vế hai đẳng thức (1) và (2) ta được: 2y = –2x
x + y = 0
Vậy x + y = 0

Bài 3: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x1 và x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: M = a2c + ac2 + b3 – 3abc
Lời giải:
Ta có: ax1 + bx2 + c = 0
(ax1 + bx2 + c)(ax2 + bx1 + c) = 0

(a2 + b2)x1x2 + ab(
) + (ac + bc)(x1 + x2) + c2 =0 (1)
Vì x1, x2 là hai nghiêm của phương trình ax2 + bx + c = 0 nên:
x1x2 =
, x1 + x2 =
và ta có:
= (x1 + x2)2 – 2x1x2 =
(2)
Thay (2) vào (1) ta suy ra:


a2c + ac2 + b3 – 3abc = 0
Vậy M = 0
Bài 4: Cho các số thực dưong a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng:


Lời giải:
Bổ đề: Cho các số thực dương x, y, z.
Chứng minh rằng:
(1)
Chứng minh bổ đề:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương, ta có:

và:

Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức trên, ta được (1). Bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề vào bài toán đã cho, ta có:







. ĐPCM.
Bài 5: Cho đường tròn (O) và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường tròn.Từ M kẻ MH vuông góc với AB(H
AB). Gọi E và F là hình chiếu của H trên MA và MB. Qua M kẻ đường vuông góc với EF cắt dây AB tại D
a) Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn.
b) Chứng minh

Lời giải:
a) Vì MD vuông góc với EF nên:

BMD = 900 –
MFE (1)
Mặt khác, vì tứ giác MEHF là tứ giác nội tiếp
(
MFH +
MEH = 900 + 900 = 1800) nên

MFE =
MHE (2)
Lại có:
MHE =
MAH(Cùng phụ với AMH) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
BMD = 900 –
MAH = 900 –
MAB =
BMO

Đường thẳng MD đi qua O là điểm cố định
b) Dễ dàng nhận thấy:

BMO =
AMH = 900 –
MAB

AMO =
BMH = 900 –
MBA
Ta có:
(4)
Và
(5)
Thay (5) vào (4) ta được:

ĐPCM.