Đáp án HSG Toán tỉnh Phú Thọ 2016-2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Hướng dẫn chấm có 05 trang


Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.

Đáp án – thang điểm
Phần trắc nghiệm khách quan
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

Đáp án đúng
D
C
B
B
A
D
A
B
A
B
A
A,
C
A
C
A
D

Điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5


Phần tự luận
Nội dung
Điểm

Câu 1. (3,0 điểm)


a) Cho các số dương
thỏa mãn
. Chứng minh rằng


1,5

Ta có

0,25

Tương tự


0,25

Suy ra
.
0,25



0,25

Vậy
.
0,5

b) Chứng minh rằng nếu
thì hai phương trình:

(a,b là các tham số) không có nghiệm nguyên chung.
1,5

Giả sử (1) và (2) có nghiệm nguyên chung
, ta có


0,25

Vì
ta có


Suy ra
là hai nghiệm của phương trình bậc hai (ẩn t)

.
0,25

Theo định lí Viet:



0,25

Vì
nên


0,25

Suy ra
. Điều này vô lí vì VT(4) chia hết cho 3 nhưng VT(4) không chia hết cho 3.
Vậy nếu
thì hai phương trình (1), (2) không có nghiệm nguyên chung.
0,5

Câu 2 (3,5 điểm)


 a) Giải phương trình

2,0

Điều kiện:

0,5

Ta có:


0,5



0,5


.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
.
0,5

Giải hệ phương trình
.
1,5

Điều kiện
. Ta có:


0,25

Từ

.
Vậy ta có
.
0,25

Thay
vào (1) ta có
.
Vì
không là nghiệm của (3) nên


0,25

 Đặt
. Phương trình trên trở thành:


0,25

Suy ra
.
0,25

Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm:
.
0,25

Câu 3. Cho đường tròn
và điểm A cố định trên
. Gọi M, N là các giao điểm của hai đường tròn
và
; H là điểm thay đổi trên cung nhỏ
của đường tròn
. Đường thẳng qua H và vuông góc với AH cắt
tại B, C. Kẻ
.
4,0





a) Chứng minh rằng IK luôn vuông góc với một đường thẳng cố định và
.
2,5

Ta có
. Vì
nên tứ giác AIHK nội tiếp.
0,5

Kẻ tiếp tuyến At của đường tròn
tại A.
Ta có:

0,5

Ta lại có:
(do tứ giác AIHK nội tiếp) (2)

(cùng bằng
sđ
) (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra:
.
0,5

Mặt khác
. Vậy IK luôn vuông góc với đường thẳng cố định OA.
0,5

Gọi J là giao điểm của AO và IK; A’ là điểm đối xứng với A qua O.
Ta có:
.
0,25


.
0,25

b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích
khi H thay đổi.