ĐÁP ÁN HSG TOÁN THỊ XÃ HOÀNG MAI 18 - 19

ĐÁP ÁN HSG THỊ XÃ HOÀNG MAI 18-19
Câu 2:
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức:

Giải:






Xét các trường hợp ta được kết quả: (x; y) = (-2; 2) và (x; y) = (2; -4)
b) Giải phương trình:

Điều kiện: - 4 < x < 4.
Ta có:


Câu 3:
a) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh a, b, c và có chu vi bằng 2.
Chứng minh rằng

Đặt x = a + b - c; y = b + c - a; z = c + a - b.

và x + y + z = a + b + c = 2
Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên x, y, z là các số dương.
Ta có:






Câu 4: Cho ba điểm S, C, D cố định nằm trên một đường thẳng và theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi nhưng luôn đi qua C và D. Từ S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với (O) (A, B là các tiếp điểm. Đường thẳng AB cắt SO và CD lần lượt tại H và I. Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh rằng:
a) SA2 = SC.SD
b) AC.BD = BC.AD.
c) Khi (O) thay đổi, tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆OEH nằm trên một đường thẳng cố định.


Chứng minh:
a) (Sử dụng định lí Py-ta-go)
E là trung điểm của CD nên OE
CD và EC = ED
Ta có: SC.SD = (SE - CE)(SE + ED)
= (SE - CE)(SE + CE)
= SE2 - CE2 = SO2 - CO2
= SO2 - OA2 = SA2.
b) Từ SA2 = SC.SD suy ra ∆SCA ∽ ∆SAD (c.g.c)

(1)
Do SA = SB nên SB2 = SC.SD suy ra ∆SCB ∽ ∆SBD (c.g.c)

(2)
Từ (1), (2) và SA = SB suy ra:

c) Ta chứng minh được SO
AB tại H suy ra: ∆SHI ∽ ∆SEO

. Mà SH.SO = SA2(Do ∆SAO vuông tại A)
Suy ra SI.SE = SA2 = SC.SD

SI có độ dài không đổi

I là điểm cố định
IE có độ dài không đổi.
Gọi M là trung điểm của OI, N là trung điểm của IE

MN là đường trung bình của ∆IOE

MN // OE. Mà đường thẳng OE cố định và N cố định nên đường thẳng MN là cố định, hay M nằm trên một đường thẳng cố định. (3)
Ta chứng minh được 4 điểm H, O, E, I cùng thuộc đường tròn tâm M đường kính OI

M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OEH (4)
Từ (3) và (4) suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OEH nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 5: Cho
. Tìm GTLN của M =

Chứng minh:
Ta có:

Từ
suy ra:
* 1
x và y
2
1 + y
x + 2
y - x
1 (1)
* (x - 1)(x - y)
0
x2 - xy - x + y
0
(2)
* (y - 2)(y - x)
0
y2 - xy - 2y + 2x
0

(3)
Cộng theo vế (2) và (3) ta được:



Kết hợp với (1) ta được
. Hay

Dấu " = " xảy ra khi 3 bất đẳng thức (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra dấu bằng. Ta tìm được x = 1 và y = 2.
Vậy GTLN của M là
khi x = 1 và y = 2.