đáp án HSG toán 9 Đồng nai 2017

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 9 ĐỒNG NAI : 2016 – 2017
Câu 1. (3 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa :

Tính:


Xem
là phương trình ẩn a, ta có :


Do đó :

Tương tự :




Câu 2. (4 điểm): Giải phương trình: a)
b)






; Đặt
(hpt :

Trừ hai pt
(x – y)(x + y) = y – x

*)Với y = x , thay vào (1) ( x2 – x – 2 = 0 ( x = y = -1 (loại) ; x = y = 2 (nhận)
*)Với y = -x – 1 (
;Vậy S =


Câu 3. (5 điểm):
Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.Ch/m:
.
b)Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.Ch/m:
.



(2) luôn đúng nên (1) đúng


; Ta có:

Theo BĐT AM-GM:




(1), (2) (:


Câu 4. (5 điểm): Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7.
Gọi G, I lần lượt là trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ch/m: IG//BC.
b)Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Ch/m: A, M, I, N cùng nằm trên một đường tròn.

a)Vì AD là phân giác của
ABC nên:


Vì BI là phân giác của
ABD nên :
(1)
Do G là trọng tâm của
ABC nên
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

Theo Ta- lét đảo ( IG//BC.



b)
BMI =
BDI (c.g.c) (

tương tự:
CNI=
CDI (


(

( AMIN nội tiếp.


Câu 5. (3 điểm). Cho tam giác vuông có độ dài ba cạnh là số nguyên. Chứng minh rằng: Bán kính đường tròn nội tiếp cũng là số nguyên

Gọi độ dài ba cạnh
ABC là a,b,c

Dể ch/m : 2r = b + c – a (1) (SGK toán 9-tập 1)
Theo Pitago : b2 + c2 = a2 (2)
i)Nếu b, c cùng chẵn , từ (2)( a chẵn ( b+c – a chẵn ,từ (1)(r

ii) Nếu b, c cùng lẻ ;từ (2) ( a chẵn ( b+c – a chẵn; từ (1)(r

iii) Nếu b, c khác tính chẵn lẻ; từ (2) ( a lẻ( b+c – a chẵn (r

Vậy với a,b,c nguyên thì r nguyên