Đáp án HSG tỉnh Bắc Giang-toán 9-2010

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG


HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI



Chú ý: Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.

Câu
Lời giải – Kết quả
Điểm

I.1
2(điểm)















I.2
2(điểm)
1)


 0,5




 0,5


Ta có

 0,5


Từ đó giải được

 0,5


2)Ta có:

 1


Do
nên

 0,5


Vậy

0,5

II.1
2(điểm)















II.2
2(điểm)
1)
Xét ( a2 + b2 + c2 + d2 ) - ( a + b + c + d)
= a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1)
0,5


Vì a là số nguyên dương nên a, (a – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp

a(a-1)
tương tự ta có b(b-1); c(c-1); d(d-1) đều chia hết cho 2
0,5



a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1) là số chẵn
Lại có a2 + c2 = b2 + d2
a2 + b2 + c2 + d2 = 2( b2 + d2) là số chẵn.
0,5


Do đó a + b + c + d là số chẵn mà a + b + c + d > 2

a + b + c + d là hợp số.
0,5


2)
(1)
Vì x, y là các số nguyên dương nên từ (1)
x2y – 3y
xy + 3

x(xy +3) – 3(x+y)

3(x+y)


3( x+y) = k(xy+3) ( k
) (2)
0,5


+Nếu
thì

(Vô lí vì x, y nguyên dương)



+Nếu k = 1 thì từ (2)
(x-3)(y-3) =6, mà x, y là các số nguyên dương nên x = 6 và
y = 5 hoặc x = 5 và y= 6 hoặc x=4 và y=9 hoặc x=9 và y=4.
Thử lại thấy x = 6 và y = 5 hoặc x=9 và y=4 thỏa mãn (1).
0,5


+Nếu k=2 thì từ (2) ta có: 3( x+y) = 2(xy+3) suy ra xy chia hết cho 3 (*)
mặt khác 3( x+y) = 2(xy+3)
y(x-3)+x(y-3)+6=0 suy ra x>3 và y>3 vô lý. (**)
Từ (*) và (**) ta có (x;y)=(1;3), (3;1). Thử lại vào (1) ta được (x;y)=(3;1).
Vậy ( x, y) = ( 6;5); (9;4); (3;1).
0,5


III.1
2(điểm)















III.2
2(điểm)
1)
(1), điều kiện

Đặt
;

0,5


Suy ra
Thay vào (1) ta được

(do
nên a+b+1>0)
1


Với a = b ta có
thỏa mãn điều kiện
Vậy x=1 là nghiệm của phương trình đã cho.
0,5


2)

Đặt
phương trình trở thành:
(1)
Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt(1) có hai nghiệm dương phân biệt
.
0,5




0,5


Với
là hai nghiệm của pt (1) thì
,
,
và
nên ta có

0,5