Đáp án đề 9

Bài 1: Cho hai số dương a và b. Xét tập hợp:


Chứng minh rằng: các số
và
đều thuộc T
Lời giải:
Xét
,
. Ta có:
và

Từ đó suy ra
thuộc T
Lại có: xét
,
. Ta có:
và

Từ đó suy ra
thuộc T.
Suy ra ĐPCM

Bài 2: Xét dãy số
với:
và


Chứng minh rằng:

Lời giải:
Với
, ta có:
(1)
Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra:

Suy ra


Hay là:


Suy ra:

(2)
Với n=145, ta có:
(3)
Từ (2), kết hợp với
suy ra

(4)
Từ (1) và (4) suy ra:

Và cũng bằng quy nạp, ta dễ dàng suy ra:

Hay là:

Suy ra

Và do đó, với n=145, ta có:
(5)
Từ (3) và (5) suy ra điều phải chứng minh

Bài 3: Tìm k, m, n đôi 1 khác nhau, khác 0 để đa thức

phân tích thành tích 2 đa thức với hệ số nguyên.
Lời giải:
Vì hệ số tự do là 1, cho nên đa thức đã cho chỉ có thể phân tích thành một trong các dạng sau đây:




Bây giờ, nhận thấy k, m, n có vai trò như nhau trong đa thức ban đầu, từ điều kiện của bài toán, ta có thể giả sử
(*)
Trong cả 2 trường hợp (I) và (II) ta đều có:
(7)
Mặt khác:

Dễ dàng nhận thấy dấu đẳng thức
không thể xảy ra, vì khi đó sẽ dẫn đến
. Trái với điều kiện ban đầu k, m, n khác nhau của bài toán.
Vậy
(8)
Thay (8) vào (7) ta được:
. Suy ra:
hoặc

Vì
nên chỉ xảy ra các trường hợp:
hoặc
hoặc

a) Với
. Suy ra
. Ta đi tìm giá trị k ở 2 hệ đã cho:

(loại)


Vì
. Nên ta có bộ 2 bộ nghiệm
không lặp khi hoán vị thỏa mãn bài toán là:
và
.
Thử lại, ta có:


Và:


b)

Ta có, với hệ:




Vì
nên
hoặc
, và có 2 bộ nghiệm không lặp khi hoán vị
trong trường hợp này:
và
.
Thử lại, ta có:


Và



Ta có, với hệ:


Đẳng thức (9) không thể xảy ra trong trường hợp
với


c)

Ta có, với hệ:


Đẳng thức (10) không thể xảy ra trong trường hợp
với

Ta có, với hệ:




Vì
nên
hoặc
, và do đó
và sẽ xảy ra trường hợp hoặc
hoặc
vì
. Điều này trái với giả thiết ban đầu.
Vậy
,
,
và
là 4 bộ nghiệm
không lặp khi hoán vị thỏa mãn bài toán

Bài 4: Chứng minh rằng:
với m, n

Lời giải:
Dễ dàng nhận thấy
là số hữu tỷ và
là số vô tỷ. Suy ra

Xét các trường hợp sau:
a)
hay là
.
Suy ra
, hay là

Từ đó suy ra

Mặt khác:

Suy ra
.ĐPCM
b)
hay là

Suy ra
, hay là

Từ đó suy ra

Mặt khác:

Suy ra
.ĐPCM

Bài 5: Cho tứ giác lồi có diện tích S=1, tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các cạnh và hai đường chéo
Lời giải:


Gọi tứ giác lồi đã cho là ABCD, có độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA và đường chéo AC, BD lần lượt là : a, b, c, d, e, f. Gọi O là giao điểm hai đường chéo.
Ta có:


(1)
Và :


(2)
(1)+(2) vế theo vế, ta được:





(3)
Mặt khác:
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
(5)
Lại có:

Suy ra

Hay là :
(6)
Mặt khác
(7)
Từ (6) và (7) suy ra
(8)
Từ (5) và (8) suy ra:
(9)
Dấu đẳng thức ở (9) xảy ra khi và chỉ khi xảy ra dấu đẳng thức ở (1), (2), (4), (6). Khi đó tứ giác ABCD là hình vuông, có cạnh đơn vị.
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng cần tìm là

Bài 6: Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB, M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D. Đường thẳng OC cắt MA tại E, đường thẳng OD cắt MB tại F. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp và xác định vị trí của M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD nhỏ nhất.
Lời giải:
Dễ dàng nhận thấy E là trung điểm của MA, F là trung điểm của MB. Từ đó suy ra OE, OF, EF là các đường trung bình của tam giác MAB.
Vì
nên tứ giác OMDB là tứ giác nội tiếp

(1)
Lại có
( đồng vị) (2)

(so le trong) (3)

(4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra



Suy ra tứ giác CEFD nội tiếp. ĐPCM.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của CE, DF, J là giao điểm của hai đường trung trực của CE và DF.
Dễ dàng nhận thấy J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD , JI
CE , JK
DF và tứ giác JKOI là hình chữ nhật.
Vì J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD nên JF là bán kính của đường tròn. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của JF.
Ta có:



Mặt khác:






Do đó:

Vì



Do đó

Suy ra

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

M là điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O)
Kết luận: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O).