Đáp án đề 7

Bài 1: Cho phương trình
(1)
Gọi hai nghiệm của phương trình là
. Tính giá trị của biểu thức:


Lời giải:
Vì
là nghiệm của phương trình (1) nên:





Từ đó suy ra A=

Ta có:




Thay:
và
, ta được:


Vì A>0 nên suy ra A=1.
Vậy A=1

Bài 2: Cho x, y, z là các số dương và
. Chứng minh rằng:

(1)
Lời giải:
Bổ đề: Cho a, b, c, d là các số thực dương, chứng minh rằng:

(2)
Chứng minh bổ đề: (2)







Điều này đúng theo áp dụng của bất đẳng thức Bunhiacopski.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
hay nói cách khác:

Trở về bài toán đã cho,áp dụng bổ đề, ta có:










. ĐPCM
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:


Bài 3: Tìm x, y, z
thỏa mãn:
(*)
Lời giải:
Dễ thấy (x; y; z)=(0; 0; 0) là nghiệm của phương trình đã cho.
Ta sẽ chứng minh (x; y; z)=(0; 0; 0) là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Thật vậy:
Giả sử tồn tại nghiệm

thỏa mãn phương trình (*), ta có:

(1)
Gọi k
lớn nhất, sao cho:
và
và
(2)
Đặt
;
;
ở đó (
,
,

) (3)
Thay (3) vào phương trình (1) rồi rút gọn, ta được:

(4)
Từ (4) dễ dàng nhận thấy
, ta đặt
(5)
Thay (5) vào (4) rồi rút gọn ta được:

(6)
Từ (6) suy ra
, ta đặt
(7)
Thay (7) vào (6) rồi rút gọn, ta được:

(8)
Từ (8) suy ra
, ta đặt
(9)
Từ (3), (5), (7), (9) ta có:
;
;
.
Và
;
;
(10)
So sánh (2) và (10) ta thấy vô lý, từ đó suy ra (0;0;0) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài 4: a)Với mỗi số nguyên duơng n, đặt
,
. Chứng minh rằng với mọi n,
chia hết cho 5 và
không chia hết cho 5
b)Tìm bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng
Lời giải:
a)Ta có:





ĐPCM.
b) Gọi 3 số nguyên dương đã cho là m, n, p. Không mất tính tổng quát ta giả sử mTheo giả thiết, ta có

Vì
nên:
. Suy ra
.Hay là
. Suy ra

Mặt khác
nên
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
. Khi đó

Vậy bộ 3 số nguyên dương thỏa mãn bài toán là (1; 2; 3)


Bài 5: Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với các cạnh AC, AB. Gọi H là giao điểm của BI với DE. Chứng minh rằng tam giác BHC là tam giác vuông.
Lời giải:
Gọi H’ là hình chiếu của C trên đường thẳng BI. Ta sẽ chứng minh H trùng với H’. Để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh 3 điểm E, D, H’ thẳng hàng.
Gọi
lần lượt là số đo 3 góc của tam giác ABC.
Ta có:




Vì
nên tứ giác CIH’D là tứ giác nội tiếp.


Mặt khác:

tứ giác ADIE là tứ giác nội tiếp.


Từ đó, ta có:


Suy ra E, D, H’ là 3 điểm thẳng hàng. Vậy H’ trùng với H
Suy ra
hay tam giác BHC là tam giác vuông. ĐPCM.