Đáp án đề 6

Bài 1: Tính tổng

Lời giải:

Xét biểu thức

Ta có:









Thay giá trị của
vào S, ta được:





Vậy

Bài 2: a) Giải phương trình theo tham số m:
(1)
Lời giải:
Điều kiện:

Do đó, điều kiện cần để phương trình đã cho có nghiệm là:

Với
ta chứng minh phương trình đã cho có nghiệm, hơn nữa đó là nghiệm duy nhất.
Thật vậy, với
, xét phương trình
(2)
Ta có:



Ta chứng minh
cũng là nghiệm của phương trình (1).
Thật vậy, vì
là nghiệm của phương trình (2), cho nên

Suy ra:

Hay là
là nghiệm của phương trình (1).
Bây giờ ta chứng minh
là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
Giả sử ngoài
phương trình (1) còn có 1 nghiệm
. Xét các trường hợp:
a)
(3)
Suy ra:









Điều này vô lý với (3)
b)
(4)
Lý luận tương tự như trường hợp a), ta cũng suy ra điều vô lý
Kết luận:
-Với
, phương trình đã cho vô nghiệm
-Với
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

b) Tìm
thỏa mãn phương trình:

(1)
Lời giải:
Bổ đề:
Với 4 số a, b, c, d bất kỳ, đẳng thức
(2) xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu.
Chứng minh bổ đề:




(3)
Đẳng thức (3) xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu.
Suy ra (2) xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu.
Trở lại bài toán ban đầu:
Theo bổ đề (2), đẳng thức




Xảy ra khi và chỉ khi và chỉ khi
,
,
,
cùng dấu.
Mặt khác:

Do đó



Ta có:


Từ (4) và (5) suy ra
(8)
Từ (4) và (6) suy ra
(9)
(8) và (9) mâu thuẫn lẫn nhau, từ đó suy ra hệ (I) vô nghiệm

(III)
Từ (10) và (11) suy ra
(14)
Từ (10) và (12) suy ra
(15)
Từ (14) và (15) và điều kiện ban đầu
suy ra
hoặc
.
Với
, thay vào (III) ta được

Với
, thay vào (III) ta được

Thử lại, với
đều thỏa mãn phương trình (1) ban đầu.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là


Bài 3: Tìm số nguyên tố p để:
và
đều là các số nguyên tố.
Lời giải:
Thử các trường hợp
,
,
, ta tìm được
thỏa mãn bài toán.
Với p>5. Vì p là số nguyên tố nên p sẽ là số lẻ, và có chữ số tận cùng là 1, hoặc 3, hoặc 7, hoặc 9. Như thế
có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9.
Nếu
có chữ số tận cùng là 1 thì
sẽ tận cùng bằng 5 và như thế sẽ chia hết cho 5 cho nên không thể là số nguyên tố.
Nếu
có chữ số tận cùng là 9 thì
sẽ tận cùng bằng 5 và như thế sẽ chia hết cho 5 cho nên không thể là số nguyên tố.
Kết luận, chỉ có
thỏa mãn yêu cầu bài toán!

Bài 4: Cho x,y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình

a) Chứng minh rằng trong hai số x,y có ít nhất một số chia hết cho 3.
b)Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12.
Lời giải:
a) Giả sử x và y đều không chia hết cho 3. Khi đó
và
chia 3 dư 1. Và như vậy, tổng
chia 3 dư 2. Hay nói cách khác
sẽ chia 3 dư 2. Điều này vô lý!
b) Trong x, y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 2. Thật vậy, giả sử x, y đều là số lẻ, khi đó
,
sẽ có dạng 4k+1, suy ra tổng
sẽ có dạng 4k+2. Hay nói cách khác
chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4. Điều này vô lý!
Vậy trong x, y có 1 số chia hết cho 2. Ta giả sử số đó là x.
Nếu y cũng chia hết cho 2. Suy ra tích xy chia hết cho 4. Kết hợp với kết quả câu a) ta suy ra xy chia hết cho 12. ĐPCM
Nếu y không chia hết cho 2, nghĩa là y lẻ. Khi đó x phải chia hết cho 4. Thật vậy.
Giả sử ngược lại x chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4. Khi đó x có dạng 4k+2. Suy ra
sẽ có dạng 8t+4.
Mặt khác y lẻ, y =2r+1. Khi đó
. Suy ra
có dạng 8t+1. Lý luận tương tự
cũng có dạng 8t+1. Và như vậy vế phải của biểu thức đã cho chia 8 dư 1 còn vế trái chia 8 dư 5. Điều này vô lý!
Vậy x chia hết cho 4, suy ra xy chia hết cho 4. Kết hợp với kết quả câu a) ta cũng suy ra được xy chia hết cho 12. Và ta có ĐPCM

Bài 5: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn. M là một điểm di động trên (d) . Từ M kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn ( P và Q là các tiếp điểm). N là giao điểm của PQ với OM.
a)Chứng minh rằng: OM.ON không đổi.
b)Chứng minh rằng: Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ thuộc một đường thẳng cố định.
c)Tìm quỹ tích điểm N.
Lời giải:
Xét tam giác OPM vuông tại P có PN là đường cao.Ta có:


ĐPCM.
b) Gọi I là trung điểm của OM. Kẻ OK vuông góc với (d).
Dễ dàng nhận thấy:

, suy ra tứ giác OPMQ nội tiếp đường tròn đường kính OM.

, suy ra tứ giác OPMK nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua O, K. Hay nói cách khác tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ nằm trên đường trung trực của OK là đường thẳng cố định (ĐPCM)
c) Gọi L là giao điểm của PQ với OK.
Ta có:

(góc, góc)
Suy ra:

Suy ra L là điểm cố định và
nên N nằm trên đường tròn đường kính ON.
Kẻ đường thẳng (d’) qua O song song với (d). Vì
nên điểm n nằm ở nửa mặt phẳng chứa K bờ là (d’).
Ta chứng minh quỹ tích của điểm N là nửa đường tròn đường kính OL có bờ là (d’) (Không tính 2 giao điểm). Thật vậy:
Gọi N’ là điểm nằm trên nửa đường tròn đường kính OL đã cho, gọi M’ là giao điểm của ON’ với (d). Kẻ các tiếp tuyến M’P’, M’Q’. Ta chứng minh 3 điểm P’, N’, Q’ thẳng hàng. Thật vậy, gọi N’’ là giao điểm của OM’ với P’Q’. Theo kết quả đã biết, ta suy ra được N’’ nằm trên đường tròn đường kính OL. Nghĩa là N’’ là giao điểm của OM’ với đường tròn đường kính OL. Suy ra N’’ trùng với N’. Suy ra P’,N’, Q’ thẳng hàng. Suy ra ĐPCM.
Vậy quỹ tích điểm N là nửa đường tròn đường kính OL có bờ là (d’), nửa mặt phẳng này chứa (d)