Đáp án đề 5

Bài 1: a) Tính:
A=

b)Chứng minh rằng:


Lời giải:
a) Trước hết ta chứng minh các căn thức có nghĩa, để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh:







Điều này hiển nhiên đúng. Suy ra các căn thức đều có nghĩa.
Trở lại bài toán đã cho, ta có:






Do đó:



Do đó: A=



Vậy A=1
b) Ta có:




Do đó:
S=





Lại có




ĐPCM
Bài 2: a) Giải phương trình:

b) Cho a, b thỏa mãn:
và
. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A=

Lời giải:
Ta có:










Vậy x=0 hoặc x=1

b)Ta có:

Do đó:A=

Với
Dễ dàng nhận thấy a, b thỏa mãn các điều kiện ban đầu và
. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

Với M là một số dương lớn tùy ý. Ta sẽ chứng minh tồn tại a và b sao cho A=M, thật vậy, chọn
ta có:


Ta chọn
khi đó

Vì
nên:

Từ đó suy ra (a;b) thỏa mãn các bất đẳng thức đã cho và A=M với M dương, lớn tùy ý. Suy ra A không có giá trị lớn nhất.

Bài 3: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố, a là số dương sao cho
không phải là số nguyên tố thì phương trình:
không có nghiệm hữu tỉ.
Lời giải:
Giả sử ngược lại phương trình
có nghiệm hữu tỉ.
Gọi
là hai nghiệm của
và giả sử

Ta có

Suy ra a là số chính phương và do đó
là số nguyên
Từ đó suy ra phương trình
là phương trình có các hệ số nguyên và có nghiệm hữu tỉ, nên các nghiệm đó đều phải là nghiệm nguyên
Ta có:



.
Điều này vô lý vì theo đề bài
không phải là số nguyên tố.
Từ đó suy ra giả thiết phương trình
có nghiệm hữu tỉ là sai. Suy ra ĐPCM.

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB sao cho
,
. Đường thẳng qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D. Dựng đường tròn tâm J bán kính
tiếp xúc với CA, CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính AB. Dựng đường tròn tâm K bán kính
tiếp xúc với CB, CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính AB,. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABD.
a)Tính
, theo a,b.
b)Tìm đẳng thức liên hệ giữa

Lời giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử
. Gọi O là trung điểm của AB. Khi đó đường tròn đường kính AB có tâm là O và

Ta có:

Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của (J), (K) với AB.
Ta có:






Xét
, ta có:








Làm tương tự với
ta suy ra được:

Vậy
,

b) Xét tam giác vuông DAB, ta có:




Gọi X, Y, Z lần lượt là tiếp điểm của (I) với DA, DB, AB.
Ta có:




Mặt khác
. Do đó

Theo kết quả tính ở câu a), dễ dàng nhận thấy:

Vậy: